/Szkoła średnia

Zadanie nr 9135819

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Podstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez ABCD (AB ∥ CD ). Ramiona tego trapezu mają długości |AD | = 10 i |BC | = 16 , a miara kąta ABC jest równa 30∘ . Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α , taki, że tg α = 9 2 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od naszkicowania opisanej sytuacji.

PIC

Aby zaznaczyć kąty nachylenia ścian bocznych do płaszczyzny podstawy zaznaczyliśmy na rysunku rzuty K ,L,M ,N spodka wysokości F na boki trapezu ABCD . Krawędź AD jest prostopadła do FN i do SF , więc jest prostopadła do płaszczyzny SNF – to oznacza, że kąt SNF jest kątem między ścianą boczną SAD , a płaszczyzną podstawy. Dokładnie tak samo jest w przypadku pozostałych ścian bocznych.

Zauważmy teraz, że trójkąty SKF ,SLF ,SMF ,SNF są prostokątne i mają z założenia takie same kąty ostre. Mają ponadto wspólną przyprostokątną SF . To oznacza, że są one przystające, czyli w szczególności FK = F L = F M = F N , czyli punkt F jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę ABCD (bo jego odległość od każdego z boków tego czworokąta jest taka sama).

Długość promienia okręgu wpisanego w podstawę obliczamy z trójkąta BCE .

CE-- ∘ 1- 1- 1- BC = sin 30 = 2 ⇒ r = 2 CE = 4 ⋅16 = 4.

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny SNF .

-SF- 9- 9- NF = tgα = 2 ⇒ SF = 2 ⋅4 = 18.

Zauważmy jeszcze, że

AB + CD = AD + BC = 10 + 1 6 = 26

(bo trapez ABCD jest opisany na okręgu). Mamy więc już wszystko aby obliczyć objętość ostrosłupa

AB--+-CD-- PABCD = 2 ⋅2r = 13⋅ 8 = 104 1 1 VABCDS = -PABCD ⋅SF = -⋅ 104⋅ 18 = 624. 3 3

 
Odpowiedź: 624

Wersja PDF