/Szkoła średnia
Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 13 kwietnia 2024 Czas pracy: 180 minut
Dane są liczby
Oblicz .
Prosta postaci jest styczna do wykresu funkcji w punkcie . Oblicz .
Dany jest okrąg . Przez punkt poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – oraz . Przez punkt leżący na odcinku poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie , która przecięła odcinek w punkcie (zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli oraz , to trójkąt nie jest równoramienny.
Wojtek i Łukasz postanowili rozegrać między sobą dziesięć partii gry w rzutki. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Wojtka jest trzy razy większe, niż prawdopodobieństwo wygrania partii przez Łukasza i każda partia kończy się zwycięstwem jednego z zawodników. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że Wojtek nie wygrał wszystkich partii, ale wygrał ich co najmniej 7. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Rozwiąż równanie .
Wykaż, że jeżeli liczby dodatnie i spełniają warunek
to spełniają też równość
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma cztery różne rozwiązania, których iloczyn jest mniejszy od 5.
Konstruujemy ciąg trójkątów równobocznych następująco:
-
jest trójkątem równobocznym o polu 1.
-
dla każdego , trójkąt ma wierzchołki na trzech różnych bokach trójkąta i każdy z wierzchołków trójkąta dzieli odpowiedni bok trójkąta w stosunku 1 : 2.
Oblicz sumę pól wszystkich trójkątów .
Pierwiastki równania z niewiadomą tworzą trzywyrazowy ciąg geometryczny. Oblicz oraz sumę kwadratów tych pierwiastków.
Odcinek jest dłuższą podstawą trapezu równoramiennego opisanego na okręgu o środku . Oblicz pole tego trapezu jeżeli i .
Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach i . Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy . Wyznacz miarę kąta .
Prosta przecina okrąg o środku w punktach i , przy czym . Wyznacz równanie prostej .
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne , w których odcinek łączący punkt przecięcia przekątnych i podstawy z dowolnym wierzchołkiem podstawy ma długość 3 (zobacz rysunek).
Wyznacz wymiary tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.