/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 14 marca 2020 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Dla dowolnych liczb a > 0 , a ⁄= 1 , b > 0 , b ⁄= 1 , c > 0 , c ⁄= 1 wartość wyrażenia

( ) ( ) ( ) lo g1a b ⋅ log1b c ⋅ log 1c a

jest równa
A) abc B) 1-- abc C) − 1 D) 1

Zadanie 2
(1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji f (x) = sinx + co sx , gdzie x ∈ R , jest przedział
A) ⟨− 1,1⟩ B) √ -- √ -- ⟨− 2 , 2⟩ C) ⟨ √- √-⟩ − -2-,-2- 2 2 D) ⟨− 2,2 ⟩

Zadanie 3
(1 pkt)

Wiadomo, że wielomian 5 4 3 2 14x − 127x + 19 4x + 138x − 561x + 252 ma w zbiorze { } 73 , 251, 47, 272 dokładnie jeden pierwiastek wymierny. Jest nim liczba

A) 73 B) 251 C) 47 D) 27 2

Zadanie 4
(1 pkt)

Granica 3 lim 9xx−+x3 x→− 3 jest równa
A) 0 B) − 18 C) + ∞ D) − 6

Zadanie 5
(1 pkt)

W okrąg o równaniu x 2 + y2 − 4x − 2y = 4 wpisano trójkąt równoramienny, w którym ramię tworzy z podstawą kąt o mierze 15 ∘ . Podstawa tego trójkąta ma długość
A) 1,5 B) √ -- 3 C) 3 D) √ -- 2 3

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Styczna do paraboli o równaniu √ --2 y = 6x − 3 w punkcie P = (x0,y0) jest nachylona do osi Ox pod kątem ∘ 60 . Oblicz współrzędne punktu P .

Zadanie 7
(2 pkt)

Oblicz sumę nieskończonego szeregu geometrycznego

√ -- √ -- √ -- √ -- √-3-− 3-+ 3√-3-− 9--+ -9√-3-− -27-+ 27-√-3-− ... 5 5 5 5 25 25 5 125 125 5

Zadanie 8
(3 pkt)

Udowodnij, że jeżeli α + β + γ = π , to

sin 2α + sin2β + sin 2γ = 4sin αsinβ sin γ.

Zadanie 9
(3 pkt)

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | . Na ramieniu AC tego trójkąta wybrano punkt M (M ⁄= A i M ⁄= C ), a na ramieniu BC wybrano punkt N . Przez punkty M i N poprowadzono proste prostopadłe do podstawy AB tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty S i T . Wykaż, że jeżeli 1 |ST | = 2|AB | , to |AM | = |CN | .

Zadanie 10
(4 pkt)

Dana jest funkcja f określona wzorem 5−4x- f(x) = 3+ 2x2 dla każdej liczby rzeczywistej x , oraz dwie liczby: 0 > a > b > − 1 2 . Oblicz wartość wyrażenia

----f-(a)---- -----f(b)---- |f(b) − f(a)| − |f(a) − f(b )|.

Zadanie 11
(4 pkt)

Liczby p i q są pierwiastkami równania x2 − 40x + 8 = 0 . Wykaż, że wartość wyrażenia √3p--+ √3q -- jest liczbą naturalną.

Zadanie 12
(4 pkt)

Doświadczenie losowe polega na tym, że losujemy bez zwracania trzy liczby ze zbioru {1 ,2,3,...,89} . Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych liczb jest liczba parzysta, jeżeli wiadomo, że pierwsza z wylosowanych liczb jest nieparzysta.

Zadanie 13
(4 pkt)

Obrazem trójkąta ABC w jednokładności o środku S = (1,− 5) i skali − 3 jest trójkąt KLM o wierzchołkach K = (19 ,7 ), L = (− 2,13), M = (13,− 8) . Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta ABC .

Zadanie 14
(6 pkt)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8. Na krawędziach bocznych AS i BS wybrano punkty, odpowiednio D i E , takie że |AD | = |BE | oraz |DE | = 6 (zobacz rysunek). Płaszczyzna CDE jest prostopadła do płaszczyzny ściany bocznej ABS ostrosłupa.

PIC

Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 15
(6 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu 3 2 W (x) = 9bx − ax − 14bx + 1 5 przez trójmian 2 (3x − 2) wynosi 3. Oblicz a i b . Dla wyznaczonych wartości a i b rozwiąż nierówność W (x) ≤ 3 .

Zadanie 16
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o ramionach długości 6. Oblicz cosinus kąta między ramionami tego z tych trójkątów, dla którego objętość bryły powstałej w wyniku obrotu trójkąta dokoła prostej zawierającej jego podstawę jest największa możliwa. Oblicz tę największą objętość.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania