/Szkoła średnia

Zadanie nr 9392032

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkty A = (2,0) i B = (4,2) leżą na okręgu o równaniu 2 2 (x − 1) + (y − 3) = 10 . Wyznacz na tym okręgu taki punkt C , aby trójkąt ABC był trójkątem równoramiennym o podstawie AB .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Ponieważ trójkąt ABC ma być równoramienny, współrzędne punktu C możemy wyznaczyć jako punkt wspólny okręgu i symetralnej odcinka AB . Symetralną odcinka AB możemy wyznaczyć jak prostą przechodzącą przez O = (1,3) i środek odcinka AB

( ) A + B 2+ 4 0 + 2 S = -------= -----,------ = (3,1). 2 2 2

Szukamy prostej OS w postaci y = ax + b . Podstawiając współrzędne punktów O i S mamy

{ 3 = a+ b 1 = 3a+ b.

Odejmując od drugiego równania pierwsze mamy 2a = − 2 , czyli a = −1 . Stąd b = 3 − a = 4 i symetralna odcinka AB ma równanie y = −x + 4 .

Szukamy teraz punktów wspólnych tej symetralnej z danym okręgiem – podstawiamy y = −x + 4 do równania okręgu.

(x − 1)2 + (−x + 4− 3)2 = 10 (x − 1)2 + (x− 1)2 = 10 / : 2 2 (x − 1) =√5-- √ -- x − 1 = − 5 ∨ x − 1 = 5 √ -- √ -- x = 1 − 5 ∨ x = 1 + 5.

Stąd odpowiednio

√ -- √ -- √ -- √ -- y = −x + 4 = − 1 + 5+ 4 = 3+ 5 ∨ y = −x + 4 = − 1− 5+ 4 = 3− 5 .

Zatem √ -- √ -- C = (1− 5,3+ 5) lub √ -- √ -- C = (1 + 5,3 − 5) .  
Odpowiedź: √ -- √ -- C = (1 − 5,3 + 5) lub √ -- √ -- C = (1 + 5,3 − 5)

Wersja PDF