/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 21 kwietnia 2018 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1

(1 pkt)

Liczba log3 6+ lo g916 jest równa
A) lo g 96 3 B) log 12 3 C) log 324 D) log 354

Zadanie 2

(1 pkt)

Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem n2⋅√3n+n-3 an = (√-2n+-√6)3 dla n ≥ 1 . Wtedy
A) lim an = -√1- n→+ ∞ 2 2 B) lim an = 0 n→ + ∞ C) n→lim+ ∞ an = + ∞ D) √3 nl→im+ ∞ an = 2√-2

Zadanie 3

(1 pkt)

Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x ) .

ZINFO-FIGURE

Wskaż wykres funkcji y = f′(x ) .

ZINFO-FIGURE

Zadanie 4

(1 pkt)

W trójkącie równoramiennym ABC o podstawie dane są: |BC | = 1 5 oraz |∡BAC | = 36∘ . Odcinek jest odcinkiem dwusiecznej kąta ABC (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wówczas długość odcinka jest równa
A) |AD | = 1 5 B) |AD | = 16 C) √ -- |AD | = 6 5 D) √ -- |AD | = 8 5

Zadanie 5

(1 pkt)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy mniejszy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 1 2 . Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
A) 3 7 B) 1 7 C) 7 3 D) 7

Zadania otwarte

Zadanie 6

(2 pkt)

Funkcja jest określona wzorem f(x) = x+1- x2+ 1 dla każdej liczby rzeczywistej . Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie P = (− 1,0 ) .

Zadanie 7

(3 pkt)

Okrąg przecina boki czworokąta ABCD kolejno w punktach A1,A 2,B1,B 2,C1,C 2,D1,D 2 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że jeżeli |A 1A2| = |B1B 2| = |C 1C2| = |D 1D 2| , to w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Zadanie 8

(3 pkt)

Oblicz jaka może być najmniejsza możliwa długość boku trójkąta ABC jeżeli |∡BAC | = α i pole trójkąta ABC jest równe .

Zadanie 9

(3 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie | | ||-1x − -9|| + m = 3 2 10 ma dokładnie jedno rozwiązanie i rozwiązanie to jest liczbą dodatnią. Wyznacz to rozwiązanie.

Zadanie 10

(3 pkt)

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych x ≥ 1 i y ≥ 1 prawdziwa jest nierówność

x (x2 − 2x + 3)+ y(y2 − 2y + 3) ≥ 2xy + 2.

Zadanie 11

(4 pkt)

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania √ - sin 2x cos2x = 1+ --2 8 16 należące do przedziału ⟨0,π ⟩ .

Zadanie 12

(4 pkt)

Suma 2018 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an) jest równa 1417, a suma odwrotności tych wyrazów jest równa 109. Oblicz iloczyn 2018 początkowych wyrazów ciągu (an) .

Zadanie 13

(5 pkt)

Napisz równanie okręgu o środku P = (− 2,− 7) , którego punkty wspólne z okręgiem o równaniu 2 2 x − 8x + y + 2y + 7 = 0 są końcami odcinka o długości √ -- 4 2 .

Zadanie 14

(5 pkt)

Z cyfr 0, 1, 2 tworzymy sześciocyfrowe liczby całkowite dodatnie podzielne przez 60. Oblicz, ile możemy utworzyć takich liczb.

Zadanie 15

(6 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem ( ) α ∈ 0, π2 , a krawędź podstawy ma długość . Przez krawędź podstawy poprowadzono płaszczyznę tworzącą z płaszczyzna podstawy kąt β ∈ (0,α) . Wykaż, że pole otrzymanego przekroju jest równe

2 2 a-sin--αco-sβ-. sin2(α + β)

Zadanie 16

(7 pkt)

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji f(x) = 9x−45 x−6 określonej dla x ∈ (− ∞ ,6) . Wykres ten przecina osie i odpowiednio w punktach i , a punkt jest początkiem układu współrzędnych. Rozpatrujemy wszystkie czworokąty ABCD , w których punkt leży na wykresie funkcji y = f(x) pomiędzy punktami i .