/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 18 kwietnia 2020 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Dla dowolnych liczb x > 0 , x ⁄= 1 , y > 0 , y ⁄= 1 wartość wyrażenia ( ) ( √ --) log√ -√3y-- ⋅ lo g 4x x y jest równa
A) 1 12 B) 1 18- C) 1 24 D) 1 6

Zadanie 2
(1 pkt)

Która z poniższych funkcji jest rosnąca w zbiorze (− ∞ ,+ ∞ ) ?
A) f(x ) = x3 + 5x2 + 10 B) f (x) = x4 + 1
C) 3 2 f(x ) = x − 9x + 27x − 27 D) f (x) = x5 − x

Zadanie 3
(1 pkt)

Wiadomo, że wśród pierwiastków wielomianu 33 0x4 − 371x3 + 141x 2 − 21x + 1 są odwrotności czterech różnych liczb pierwszych. Mediana wszystkich pierwiastków tego wielomianu jest równa
A) -4 15 B) 8- 15 C) -5 12 D) 6 35

Zadanie 4
(1 pkt)

Boki równoległoboku ABCD mają długości 2 i 5, a jego dłuższa przekątna ma długość 6.

PIC

Pole tego równoległoboku jest równe
A) √ --- 39 B) 48 C) 48 √ 3- D) 3√ 39- 2

Zadanie 5
(1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności 2x+ 1 ≤ 6x jest przedział
A) ⟨log 3,+ ∞ ) 2 B) (− ∞ ,log 2⟩ 3 C) (− ∞ ,log23 ⟩ D) ⟨log3 2,+ ∞ )

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Oblicz granicę ( ) lim ----8n−-9n2---− 1−n-4 n→+ ∞ 5n2−7n− 3n3+ 5 5n3+2 .

Zadanie 7
(2 pkt)

Dana jest funkcja f określona wzorem 7−16x2 f(x) = -x2+-3- dla każdej liczby rzeczywistej x . Oblicz wartość f ′(− 9) pochodnej tej funkcji dla argumentu − 9 .

Zadanie 8
(2 pkt)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) określony dla n ≥ 1 , w którym a1 < 0 . Suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest skończona i spełnia nierówność S ≥ 4a 2 . Wyznacz iloraz tego ciągu.

Zadanie 9
(3 pkt)

Na bokach AB i AC trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty K i L w ten sposób, że |BK | = |AL | . Punkt D jest środkiem odcinka BC . Przez punkty K i L poprowadzono proste równoległe do AD , które wyznaczyły na boku BC punkty E i F odpowiednio (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli |BC | = 2|EF| , to |AB | = |AC | .

PIC

Zadanie 10
(3 pkt)

Funkcja f jest wielomianem stopnia 3, a jej wykres znajduje się powyżej osi Ox na zbiorze (− ∞ ,− 3) ∪ (− 3,1) . Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x = − 3 2 jeżeli wiadomo, że styczna ta jest równoległa do prostej 4y − 7x + 2 = 0 .

Zadanie 11
(3 pkt)

Wykaż, że 3 sin π-− sin π-= 4sin3 π- 9 3 9 .

Zadanie 12
(4 pkt)

Czterdzieści osób usadzono w sposób losowy przy czterech dziesięcioosobowych okrągłych stołach. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że trzy ustalone wcześniej osoby siedzą przy jednym stole.

Zadanie 13
(4 pkt)

Na boku AB trójkąta ABC wybrano punkt D w ten sposób, że |AD | = 3|BD | = 3 . Bok BC tego trójkąta ma długość 2. Oblicz stosunek długości odcinków AC i DC .

PIC

Zadanie 14
(4 pkt)

Punkt ( 5) S = 1,2 leży wewnątrz figury F opisanej układem nierówności

{ x ≥ 2|y − 3|− 8 x ≤ 10 − 2|y − 2|.

Wyznacz równanie największego okręgu o środku S , który jest zawarty wewnątrz figury F .

Zadanie 15
(5 pkt)

Wielomian określony wzorem 3 3 2 W (x ) = 2x + (m − 1 )x − 11x − 2(8m + 1) jest podzielny przez dwumian (x+ 2) oraz przy dzieleniu przez dwumian (x − 1 ) daje resztę 12. Oblicz m i dla wyznaczonej wartości m rozwiąż nierówność W (x) ≥ 0 .

Zadanie 16
(6 pkt)

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 8, a przekątne dwóch ścian bocznych poprowadzone z jednego wierzchołka tworzą kąt α . Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Zadanie 17
(7 pkt)

Rozpatrujemy trapezy równoramienne ABCD o przekątnej długości 1 i sumie długości podstaw równej x . Zapisz pole trapezu ABCD jako funkcję zmiennej x . Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz sumę długości podstaw tego z rozważanych trapezów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania