/Szkoła średnia

Lubelska próba przed maturą
z matematyki (dla klas drugich)
poziom rozszerzony 14 maja 2019 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Dany jest ciąg geometryczny nieskończony

-- -- √ -- √ -- √ 3 (√ 3− 2 ), 3-−√2-3-, --3√−--2,... 3 3

Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
A) 3(√ 3− 2) --√3−1-- B) 3√ 3(√ 3− 2) ----2----- C) szereg jest rozbieżny D) √1- 3

Zadanie 2
(1 pkt)

Granica 1+3+ 5+...+ (2n− 1) lim --(2n+5)(3n+-7)-- n→+ ∞ jest równa
A) 1 − 3 B) 1 5 C) 1 6 D) 0

Zadanie 3
(1 pkt)

Równanie 2 |x − 6x | = m o niewiadomej x ma cztery rozwiązania dla m
A) m ∈ (− 9,0) B) m ∈ ⟨0,9⟩ C) m ∈ (0,9) D) m ∈ (0,+ ∞ )

Zadanie 4
(1 pkt)

Zbiór (− ∞ ,− 5⟩∪ ⟨1,+ ∞ ) jest zbiorem rozwiązań nierówności
A) |x − 2| < 3 B) |x + 2| ≥ 3 C) |x+ 1| ≥ 4 D) |x − 1| > 4

Zadanie 5
(1 pkt)

Wartość wyrażenia ∘ ∘ sin 75 − cos 75 jest równa
A) √ - √ - --2−--6 4 B) √ - --6 2 C) √ 2 -2- D) 0

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Dla jakich wartości parametru k reszta z dzielenia wielomianu

W (x) = k2x30 − 60x20 − 12k− 2

przez dwumian x − 1 jest równa 2?

Zadanie 7
(4 pkt)

Dla jakich wartości parametru k suma kwadratów pierwiastków równania x2 + (k− 3)x + k− 5 = 0 jest najmniejsza?

Zadanie 8
(5 pkt)

Rozwiąż nierówność |x3 − 1| < x2 + x + 1 .

Zadanie 9
(5 pkt)

Trzy liczby tworzą rosnący ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa 28. Liczby te są jednocześnie 1, 2 i 4 wyrazem ciągu arytmetycznego. Jakie to liczby?

Zadanie 10
(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli a,b > 0 to √ --- ab ≥ --2- 1a+1b .

Zadanie 11
(7 pkt)

Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji

( )2 f(x ) = 1+ x-+-2-+ x-+-2- + ... x + 4 x + 4

Naszkicuj wykres funkcji f(x) .

Zadanie 12
(3 pkt)

Wykaż, że punkt przecięcia przekątnych trapezu leży na prostej przechodzącej przez środki jego podstaw.

Zadanie 13
(6 pkt)

Rozwiąż równanie sin x + sin2x = sin3x w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 14
(5 pkt)

W trapezie opisanym na okręgu ramiona mają długości 6 i 10. Odcinek łączący środki tych ramion dzieli trapez na dwie części, których pola pozostają w stosunku 5:11. Wyznacz długości podstaw tego trapezu.

Zadanie 15
(5 pkt)

W romb o boku 8 i kącie ostrym 60∘ wpisano okrąg. Wyznacz pole prostokąta, którego wierzchołki leżą w punktach styczności okręgu z bokami rombu.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania