Zadanie nr 7094091

Dane są punkty √ -- √ -- √ --- A = (6 3,2),B = (− 3,23),C = (− 10,26) . Opisz za pomocą nierówności półpłaszczyznę o krawędzi , do której należy punkt .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ze względu na duże liczby i pierwiastki trudno o dokładny rysunek, więc rozpocznijmy od napisania równania prostej . Można to zrobić korzystając ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, ale my obejdziemy się bez niego. Szukamy prostej w postaci y = ax+ b . Podstawiając współrzędne punktów i otrzymujemy układ równań

{ √ -- 2 = 6 3√a-+ b 23 = − 3a + b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby zredukować ) i mamy

√ -- − 21 − 3 √ -- − 21 = 7 3a ⇒ a = -√---= √---= − 3. 7 3 3

Wtedy √ -- b = 23+ 3a = 23 − 3 = 20 i prosta ma równanie √ -- y = − 3x+ 20 .

Dwie półpłaszczyzny o krawędzi są opisane nierównościami

√ -- y ≥ − 3x + 20 √ -- y ≤ − 3x + 20 .

W której z tych półpłaszczyzn znajduje się punkt ? – aby to ustalić, wystarczy sprawdzić, którą z powyższych nierówności spełniają jego współrzędne. Liczymy