Zadanie nr 9769019

Kąt jest ostry i tg α = 2 . Oblicz sin-α−cosα sin α+cosα .

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ mamy podany tangens, podzielmy licznik i mianownik danego ułamka przez cosα .

sin-α cosα sin-α-−-co-sα-= cosα −-cosα-= tg-α-−-1 = 2−--1-= 1-. sin α + co sα sin-α+ cosα tg α + 1 2+ 1 3 cosα cosα

Sposób II

Zauważmy, że

2 = tg α = -sin-α ⇒ sinα = 2co sα. co sα

Zatem

sinα-−-co-sα-= 2co-sα-−-cos-α-= 2−--1-= 1-. sinα + co sα 2co sα + cos α 2+ 1 3

Sposób III

Jeżeli zabrakło nam sprytu potrzebnego do poprzednich sposobów, możemy z podanego tangensa wyliczyć sin α i cosα .

sinα- 2 = tgα = cosα 2 2 cos α = sinα /() 4 cos2 α = sin2α = 1− cos2α 2 5 cos α = 1 1 cosα = ± √--. 5

Ponieważ jest kątem ostrym, -1- cosα = √ 5 . Stąd (ponownie korzystamy z tego, że jest kątem ostrym)

∘ ------ ∘ -------2-- 1- -2-- sin α = 1 − cos α = 1 − 5 = √ --. 5

Możemy teraz obliczyć wartość podanego wyrażenia

√2-− 1√-- sin-α-−-cos-α-= -5-----5-= 2−--1-= 1-. sin α + cos α √2-+ 1√-- 2+ 1 3 5 5

Odpowiedź: 1 3