Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1017060

Wykaż, że równanie  4 3 2 x + x + x − 3 = 0 ma tylko jedno rozwiązanie które jest liczbą wymierną.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Łatwo zauważyć, że jednym z pierwiastków równania jest x = 1 . Dzielimy teraz lewą stronę przez (x− 1) . My jak zwykle zrobimy to grupując wyrazy

x4 + x3 + x2 − 3 = (x 4 − x 3)+ (2x 3 − 2x2)+ (3x2 − 3x) + (3x − 3) = 3 2 = x (x− 1)+ 2x (x − 1) + 3x(x − 1 )+ 3(x − 1 ) = = (x 3 + 2x 2 + 3x+ 3)(x − 1).

Wystarczy teraz udowodnić, że wielomian w pierwszym nawiasie nie ma pierwiastków wymiernych. W tym celu wystarczy sprawdzić, że żaden z dzielników wyrazu wolnego, czyli x ∈ {± 3,± 1} nie jest jego pierwiastkiem. Jest to oczywiste dla x = 1 i x = 3 (bo suma na pewno jest dodatnia). Sprawdzamy jeszcze dla x = − 1 i x = −3 .

− 1+ 2− 3+ 3 = 1 − 27+ 18 − 9 + 3 = − 15.

Uwaga. Warto podkreślić, że x = 1 nie jest jedynym rozwiązaniem danego równania – co wyraźnie widać na wykresie jego lewej strony.


PIC


Z naszego rozumowania wynika jednak, że drugi pierwiastek tego równania nie jest liczbą wymierną.

Wersja PDF