Zadanie nr 5660470
Wyznacz punkty wspólne wykresu wielomianu i prostej
.
Rozwiązanie
Musimy rozwiązać równanie .
![5 4 3 2 x − 4x + 3x + x = 4x − 3 x5 − 4x 4 + 3x 3 + x2 − 4x+ 3 = 0.](https://img.zadania.info/zad/5660470/HzadR1x.gif)
Sposób I
Jeżeli się przyjrzymy to widać, że z lewej strony możemy wyłączyć wyrażenie .
![x5 − 4x4 + 3x3 + x2 − 4x + 3 = 3 2 2 3 2 x (x − 4x + 3) + (x − 4x + 3) = (x + 1 )(x − 4x + 3) = = (x+ 1)(x2 − x + 1)(x2 − 4x + 3).](https://img.zadania.info/zad/5660470/HzadR3x.gif)
Widać zatem, że jeden z pierwiastków to , drugi nawias jest zawsze dodatni (bo
), pozostało więc rozłożyć trójmian w trzecim nawiasie.
![x2 − 4x+ 3 = 0 Δ = 16 − 1 2 = 4 x = 1 ∨ x = 3.](https://img.zadania.info/zad/5660470/HzadR6x.gif)
Odpowiadające -ki wyliczamy z równania prostej:
![(− 1,− 7),(1,1),(3 ,9)](https://img.zadania.info/zad/5660470/HzadR8x.gif)
Sposób II
Szukamy pierwiastków całkowitych wśród dzielników wyrazu wolnego. Znajdujemy bez trudu . Dzielimy wielomian przez
. My zrobimy to grupując wyrazy.
![5 4 3 2 x − 4x + 3x + x − 4x+ 3 = = (x 5 − x 4)− (3x 4 − 3x3)+ (x2 − x)− (3x − 3) = 4 3 = (x − 1)(x − 3x + x − 3)](https://img.zadania.info/zad/5660470/HzadR11x.gif)
Rozkładamy teraz wielomian w nawiasie, łatwo znaleźć jego pierwiastek lub
. My podzielimy przez
.
![x4 − 3x3 + x − 3 = x3(x− 3)+ (x− 3) = (x − 3)(x3 + 1) = 2 = (x − 3)(x + 1 )(x − x+ 1).](https://img.zadania.info/zad/5660470/HzadR15x.gif)
Otrzymany wielomian kwadratowy nie ma pierwiastków (), więc wszystkie pierwiastki wyjściowego równania, to
. Licząc
–ki mamy
![(− 1,− 7),(1,1),(3 ,9)](https://img.zadania.info/zad/5660470/HzadR19x.gif)
Na koniec obrazek
![PIC](https://img.zadania.info/zad/5660470/HzadR20x.gif)
Odpowiedź: