Zadanie nr 7718645

Oblicz całkę ∫ -3√xdx-- √ 3√x+-1 .

Rozwiązanie

Ponieważ

√3xdx 1 1 1 ∘--√-------= x 3(1+ x3)− 2dx, 3 x+ 1

więc mamy do czynienia z różniczką dwumienną postaci

xm (a+ bxn )pdx.

W naszej sytuacji mamy

m + 1 43 ------ = 1-= 4, n 3

więc możemy podstawić 2 1 t = 1+ x3 (jest to ogólna metoda całkowania różniczek dwumiennych). Mamy wtedy

2tdt = 1-x− 23dx, 3

oraz

∫ 1 1 1 ∫ 1 1 2 ∫ 1 x3(1 + x 3)−2dx = x (1+ x3)− 2 ⋅x −3dx = (t2 − 1)3 ⋅-⋅6tdt = ∫ t = 6 (t6 − 3t4 + 3t2 − 1)dt = 6-t7 − 1-8t5 + 6t3 − 6t + C . 7 5

Odpowiedź: 6 7 18 5 3 7t − 5 t + 6t − 6t + C , gdzie ∘ ----√--- t = 1+ 3 x