Zadanie nr 1078650

Zbadaj zbieżność całki niewłaściwej ∫ +∞ 1 -αdx a x dla a > 0 .

Rozwiązanie

Niech α ⁄= 1 . Wtedy

∫ + ∞ ∫ +∞ [ ]+∞ [ ]+∞ 1-dx = x −αdx = ---1----x−α+ 1 = ---1---⋅ --1-- . a xα a − α + 1 a − α+ 1 xα−1 a

Ostatnia granica jest równa + ∞ gdy α < 1 , lub jest równa liczbie skończonej: ( ) − −-1α+1 ⋅a1α−1 gdy α > 1 .

Dla α = 1 mamy

∫ ∞ 1 +∞ xdx = [ln x]a = + ∞ . a

Tak więc całka niewłaściwa +∫∞ 1 xαdx a jest zbieżna dla α > 1 , a rozbieżna dla α ≤ 1 .
Odpowiedź: Zbieżna dla α > 1 , a rozbieżna dla