Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 1 maja 2010 Czas pracy: 180 minut
Wyznacz środek okręgu wpisanego w trójkąt, którego boki zwierają się w prostych o równaniach oraz
.
Dwa przeciwległe boki czworokąta wpisanego w okrąg mają równe długości. Wykaż, że czworokąt ten jest trapezem.
Korzystając ze wzoru
który jest prawdziwy dla dowolnej liczby naturalnej i dowolnej liczby
, wykaż, że
Kwadrat o wierzchołkach przekształcono w jednokładności o skali ujemnej i otrzymano kwadrat o wierzchołkach
. Wyznacz środek i skalę tej jednokładności.
Długości boków trójkąta są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego o ilorazie , a cosinus jednego z jego kątów jest równy
.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma cztery różne pierwiastki, których suma sześcianów jest równa 4.
W ostrosłup prawidłowy czworokątny wpisujemy graniastosłupy prawidłowe czworokątne w ten sposób, że dolna podstawa graniastosłupa zawiera się podstawie ostrosłupa, a każdy z wierzchołków górnej podstawy należy do jednej z krawędzi bocznych ostrosłupa. Wiedząc, że każda z krawędzi ostrosłupa ma długość 6, oblicz jaka jest maksymalna możliwa powierzchnia boczna graniastosłupa.
Rozwiąż nierówność .
Umieszczamy króla szachowego w lewym dolnym rogu 64-polowej szachownicy, a następnie siedem razy przesuwamy go losowo w górę lub w prawo (za każdym razem na nowo losujemy kierunek przesunięcia).
Zakładając, że wylosowanie każdego kierunku jest jednakowo prawdopodobne, oblicz prawdopodobieństwo, że na końcu król nie znajdzie się w rogu szachownicy.