Zadanie nr 2283124

Oblicz całkę ∫ −x e sin 2xdx .

Rozwiązanie

Będziemy korzystać ze wzoru na całkowanie przez części.

∫ ′ ∫ ′ u v = uv − uv .

Liczymy (będziemy dwa razy całkować przez części).

| | ∫ −x |u ′ = e−x v = sin2x | I = e sin2xdx = ||u = −e −x v ′ = 2 cos 2x|| = ∫ = −e −xsin 2x + 2 e−x ⋅cos 2xdx = | | | u′ = e−x v = cos 2x | = || −x ′ || = u = −e v = − 2sin2x ∫ = −e −xsin 2x − 2e−x cos 2x− 4 e−x sin 2xdx = = −e −xsin 2x − 2e−x cos 2x− 4I.

Mamy więc

5I = −e −x sin 2x − 2e−x cos 2x I = − 1-(sin 2x + 2 cos2x )e−x + C . 5

Odpowiedź: − 1 (sin 2x + 2 cos2x )e−x + C 5