/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2011

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 9 kwietnia 2011 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 2 2 ||x − 4|− x | = 4 .

Zadanie 2
(5 pkt)

Wyznacz równanie okręgu, który jest symetryczny do okręgu o równaniu

x2 + 10x + y2 − 2y + 1 9 = 0

względem prostej y = 2x + 1 .

Zadanie 3
(5 pkt)

Rozwiąż nierówność

x4 − 3x3 − 6x2 + 28x − 24 ≤ 0.

Zadanie 4
(4 pkt)

W trapezie ABCD podstawa AB jest 3 razy dłuższa od podstawy CD . Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie E , a proste zawierające ramiona AD i BC przecinają się w punkcie F . Oblicz stosunek pola czworokąta DECF do pola trapezu ABCD .

Zadanie 5
(5 pkt)

Ciąg (a,b,c) jest geometryczny, a ciągi (4a− 4,2b − 2,c− 1) i (a+ 5,b+ 3,c− 15) są arytmetyczne. Oblicz a,b,c .

Zadanie 6
(5 pkt)
  • Wykaż, że dla dowolnych liczb nieujemnych a i b spełniona jest nierówność
    a + b √ --- ------≥ ab 2
  • W zbiorze prostokątów wpisanych w okrąg o promieniu R znajdź prostokąt o największym polu.

Zadanie 7
(5 pkt)

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AB | = |AC | i |BC | = 10 . Na boku AC wybrano punkt D w ten sposób, że |∡CBD | = |∡BAC | = α oraz |AD | = 6193 . Oblicz sin α .

Zadanie 8
(6 pkt)

Liczby x1 ⁄= x2 są dwoma dodatnimi pierwiastkami równania 3x2 − πx + m = 0 z niewiadomą x , gdzie m jest pewną ustaloną liczbą rzeczywistą.

  • Wykaż, że 2x1x2 < π- x1+x2 6 .
  • Wykaż, że ----1----- 2tg x1tg x2 + cosx1cosx2 = 2 .

Zadanie 9
(5 pkt)

Oblicz prawdopodobieństwo, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek będzie podzielna przez 4.

Zadanie 10
(6 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC , a krawędź AD jest wysokością ostrosłupa. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa ABCD , jeśli wiadomo, że jego objętość jest równa 48 oraz |BC | = 6,|BD | = |CD | = 13 . Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania