Zadanie nr 4596315

Liczby dodatnie i spełniają równość 2 2 a + 2a = 4b + 4b . Wykaż, że a = 2b .

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy podaną równość (korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów).

2 2 a + 2a = 4b + 4b (a2 − 4b 2)+ (2a − 4b) = 0 (a− 2b)(a+ 2b)+ 2(a− 2b) = 0 (a− 2b)(a+ 2b+ 2) = 0.

Zauważmy teraz, że skoro liczby i są dodatnie, to a + 2b + 2 > 0 . To oznacza, że a − 2b = 0 .

Sposób II

Przekształcamy podaną równość (uzupełniamy obie strony do pełnych kwadratów).

a2 + 2a = 4b2 + 4b /+ 1 a2 + 2a+ 1 = 4b2 + 4b + 1 2 2 (a+ 1) = (2b + 1) .

Korzystamy teraz ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

(a+ 1)2 − (2b+ 1)2 = 0 (a+ 1+ 2b+ 1)(a+ 1− (2b+ 1)) = 0 (a+ 2b+ 2)(a− 2b) = 0.

Tak samo jak w poprzednim sposobie wnioskujemy stąd, że a = 2b .

Sposób III

Tak jak w poprzednim sposobie dochodzimy do równości

2 2 (a+ 1) = (2b+ 1) a+ 1 = 2b + 1 lub a + 1 = − (2b + 1) a = 2b lub a + 2b + 2 = 0 .

Ponieważ liczby i są dodatnie, to druga ewentualność nie jest możliwa. Zatem a = 2b .