/Szkoła średnia/Liczby/Wyrażenia algebraiczne/Udowodnij.../3 literki

Zadanie nr 6146016

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Uzasadnij, że jeżeli a ⁄= b , a ⁄= c, b ⁄= c i a + b = 2c , to -a-- -b-- a−c + b−c = 2 .

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że podany warunek możemy zapisać w postaci b− c = c− a = − (a− c) . Zatem

--a-- --b-- --a-- --b-- a−--b- a − c + b− c = a − c − a − c = a− c.

Teraz podstawmy w tej równości b = 2c − a

--a-- --b-- a−--b- a-−-2c-+-a 2(a-−-c) a − c + b − c = a− c = a− c = a− c = 2 .

Sposób II

Z podanego warunku mamy a+b- c = 2 . Zatem

a b a b ----- + ----- = ----a+b-+ ----a+b-= a − c b − c a− 2 b− 2 2a 2b 2 (a − b ) = a-−-b-+ b−--a-= --a−--b--= 2.

Sposób III

Podstawmy a = 2c− b w liczniku i mianowniku pierwszego ułamka.

--a-- --b-- --2c-−-b-- --b-- 2c-−-b- --b-- a− c + b− c = 2c − b − c + b − c = c− b + b − c b− 2c b b− 2c+ b 2(b − c) = -------+ ----- = ---------- = ---------= 2. b − c b − c b − c b− c

Sposób IV

Przekształćmy w sposób równoważny równość, którą mamy udowodnić.

--a-- --b-- a− c + b − c = 2 a(b-−-c)+--b(a−--c) = 2 / ⋅ (a− c)(b − c) (a − c)(b − c) ab− ac+ ab− bc = 2ab − 2bc − 2ac + 2c2 ac+ bc = 2c2.

Jeżeli c = 0 to powyższa równość jest oczywiście spełniona, a jeżeli c ⁄= 0 to możemy tę równość podzielić stronami przez c i otrzymujemy prawdziwą równość

a+ b = 2c.

Przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa równość też musiała być prawdziwa.

Sposób V

Z warunku a+ b = 2c wynika, że liczby a,c,b są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Zatem c = a + r i b = a + 2r dla pewnego r . Zatem

a b a a + 2r −a + a+ 2r ----- + -----= --- + ------ = ------------= 2. a − c b− c −r r r
Wersja PDF