/Szkoła średnia/Liczby/Wyrażenia algebraiczne/Udowodnij...

Zadanie nr 2685019

Wykaż, że jeżeli a > 0 i b > 0 oraz √ -2---- √ -----2 a + b = a + b , to a = b lub a + b = 1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy równoważnie podaną równość.

∘ -2---- ∘ -----2 2 a + b = a+ b /() a2 + b = a+ b2 a2 − b2 = a− b (a− b)(a+ b) = a− b.

Widać zatem, że równość ta jest spełniona dla a = b . Załóżmy zatem dalej, że a ⁄= b – wtedy możemy ostatnią równość podzielić stronami przez (a − b) i mamy

a + b = 1.
Wersja PDF