Zadanie nr 2755855

Wyznacz asymptoty funkcji f(x) = x+ arctg x .

Rozwiązanie

Funkcja nie ma asymptot pionowych (bo dziedziną jest ), więc od razu szukamy asymptoty ukośnej. Po drodze będziemy korzystać z tego, że

lim arctg x = − π- x→ −∞ 2 π- xl→im+∞ arctg x = 2.

Najpierw asymptota w − ∞ .

f(x)- x-+-arctg-x a = xli→m− ∞ x = xl→im−∞ x = 1 π b = xli→m− ∞(f (x)− ax) = xl→im−∞ arctg x = − 2-.

Zatem prosta y = x − π- 2 jest asymptotą ukośną w − ∞ .

Teraz asymptota w + ∞ .

f(x) x + arctg x a = lim -----= lim ----------- = 1 x→ + ∞ x x→ +∞ x b = lim (f (x )− ax) = lim arctg x = π-. x→ + ∞ x→ +∞ 2

Zatem prosta y = x + π2 jest asymptotą ukośną w + ∞ .

Na koniec obrazek.

Odpowiedź: y = x− π2- w − ∞ oraz y = x+ π- 2 w + ∞ .