Zadanie nr 5325630

Oblicz z deﬁnicji pochodną funkcji f(x) = sin x .

Rozwiązanie

Skorzystamy z granicy

sin x lim ----- = 1. x→ 0 x

oraz z tożsamości trygonometrycznej

α − β α + β sin α − sinβ = 2 sin ------cos ------. 2 2

Liczymy pochodną w punkcie x 0 .

′ f(x 0 + t) − f(x0) sin (x0 + t)− sin x0 f (x0) = lim ------------------= lim --------------------= t→ 0 x +tt−x x+t+t→x 0 t 2-sin--0-2--0-cos-0--2--0 sin-t2 2x-0 +-t = ltim→ 0 t = ltim→0 t ⋅co s 2 = 2 = 1 ⋅cos 2x0-= c osx . 2 0

Odpowiedź: ′ f (x) = co sx