/Szkoła średnia/Zadania testowe/Funkcje - wykresy/Parabola/Dany wykres

Zadanie nr 4829025

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f . Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba 2. Do wykresu funkcji f należy punkt (0,3) . Prosta o równaniu x = − 2 jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji f .

PIC

Wartość funkcji f dla argumentu (− 4) jest równa
A) − 2 B) 0 C) 3 D) 4

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ prosta x = − 2 jest osią symetrii wykresu, wartość dla argumentu x = − 4 jest taka sama jak wartość dla argumentu położonego symetrycznie względem tej prostej, czyli dla x = 0 . Mamy zatem

f(− 4) = f(0) = 3.

Sposób II

Ponieważ miejsca zerowe funkcji kwadratowej są umieszczone symetrycznie względem osi symetrii jej wykresu, drugie miejsce zerowe x danej funkcji spełnia warunek

x-+-2- 2 = − 2 ⇐ ⇒ x + 2 = −4 ⇐ ⇒ x = − 6.

To oznacza, że funkcja f ma wzór postaci

f(x ) = a(x + 6)(x − 2).

Ponadto

1 3 = f(0) = a ⋅6⋅ (− 2) = − 12a ⇒ a = − 4.

To oznacza, że

1- f(x ) = − 4(x + 6 )(x− 2)

i

f (− 4) = − 1-⋅2 ⋅(− 6) = 3. 4

Sposób III

Podana oś symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f oznacza, że funkcja f ma wzór postaci

2 f(x) = a(x + 2 ) + yw .

Wiemy ponadto, że

{ 3 = f (0) = 4a + yw 0 = f (2) = 16a + yw .

Jeżeli odejmiemy od drugiego równania pierwsze, to mamy

1 − 3 = 12a ⇒ a = − -. 4

Stąd

yw = − 16a = 4

i

1 f(x ) = − -(x + 2)2 + 4. 4

Stąd

1 2 1 f (−4 ) = − -(x + 2) + 4 = − -⋅ 4+ 4 = 3. 4 4

Na koniec większy fragment wykresu funkcji f .

PIC

 
Odpowiedź: C

Wersja PDF