Zadanie nr 3945452

Wyznaczyć sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego wiedząc, że stosunek promieni okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkąt jest równy .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy długości przyprostokątnych przez a,b a długość przeciwprostokątnej przez .

Średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest przeciwprostokątna. W szczególności promień okręgu opisanego jest równy R = c2 .

Sposób I

Promień okręgu wpisanego obliczymy ze wzoru na pole:

1 1 -ab = S = --(a+ b+ c)r 2 2 ---ab---- r = a+ b+ c.

Zapiszmy teraz podaną informację o stosunku promieni

c 5- R- ---2-- ac+-bc-+-c2- 2 = r = --ab-- = 2ab . a+b +c

Ponieważ mamy obliczyć a sin α = c i b sinβ = cos α = c podzielmy licznik i mianownik powyższego ułamka przez .

a b c +-c +-1- sin-α-+-cos-α+--1 5 = a ⋅ b = sinα ⋅co sα c c 5 sin α ⋅cosα = sin α + cos α + 1.

Pozostało rozwiązać otrzymane równanie trygonometryczne. Przekształcamy je tak, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

2 5 sin α ⋅cos α− 1 = sinα + co sα /() 25 sin2α cos2 α− 10sin αcos α + 1 = sin2 α+ 2sinα cos α+ cos2α 2 2 25 sin α cos α = 12 sin α cosα / : 25 sin α cosα 12 sin α cosα = ---. 25

Ponownie podniesiemy równanie do kwadratu, aby móc skorzystać jedynki trygonometrycznej.

sin α cosα = 12- /()2 25 2 2 144- sin α cos α = 625 sin 2α(1 − sin2 α) = 14-4. 62 5

Podstawmy teraz 2 t = sin α .

144 t2 − t+ ----= 0 625 ( ) 576- 49-- -7- 2 Δ = 1 − 625 = 625 = 2 5 1−--725- 9-- 1-+--725- 16- t = 2 = 25 ∨ t = 2 = 25 .

Zatem 3 sin α = 5 lub 4 sin α = 5 . Wtedy odpowiednio 4 sin β = c osα = 5 i 3 sin β = cosα = 5 .

Sposób II

Wiemy, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dwa razy dłuższa od promienia okręgu opisanego, więc

c -2 = 5- ⇒ c = 5r. r 2

Stąd

5r = c = (a − r) + (b − r) = a + b− 2r ⇒ b = 7r − a.

Udało nam się więc wyrazić długości wszystkich trójkąta w zależności od i .

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa.

2 2 2 c = a + b 25r2 = a2 + (7r − a)2 = a2 + 49r2 − 14ar + a2 / : 2 2 2 0 = a − 7ar + 12r .

Traktujemy jak parametr i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

2 2 2 Δ = 4 9r − 4 8r = r 7r−--r 7r-+-r a = 2 = 3r lub a = 2 = 4r.

Interesujące nas sinusy kątów ostrych są więc równe

sin α = a-= 3r-= 3- lub sin α = a-= 4r-= 4-. c 5r 5 c 5r 5

Sposób III

Tak jak w poprzednim sposobie dochodzimy do równości

{ c = 5r a + b = 7r.

Podnosimy teraz drugą z tych równości do kwadratu i korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

2 2 2 a + b + 2ab = 49r c2 + 2ab = 49r2 2 2 2 25r + 2ab = 4 9r ⇒ ab = 12r .

Mamy zatem układ równań

{ a+ b = 7r ab = 12r2

Możemy go rozwiązać, ale tak naprawdę nie potrzebujemy wartości i , ale sinusy, czyli liczby i . Dzielimy zatem pierwsze równanie przez równość c = 5r , a drugie przez c2 = 25r2 i mamy układ

{ a + b = 7 ca bc 125 c ⋅c = 25.

Na mocy wzorów Viète’a oznacza to, że szukane sinusy są pierwiastkami równania kwadratowego

2 7- 12- x − 5 x+ 25 = 0 49 48 1 Δ = ---− ---= --- 25 25 2 5 75 −-15- 3- 75-+-15- 4- x = 2 = 5 ∨ x = 2 = 5.

Sposób IV

Oznaczmy długość odcinka łączącego środek przeciwprostokątnej z punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną przez .

Wiemy, że R = 5r = 2,5r 2 , zatem przyprostokątne mają odpowiednio długości

r + R + x = 3,5r+ x r + R − x = 3,5r− x.

Pozostało teraz napisać twierdzenie Pitagorasa.

2 2 2 2 (3,5r + x ) + (3,5r − x) = (2R) = 2 5r 12 ,25r2 + 7rx+ x2 + 12,25r2 − 7rx + x2 = 2 5r2 2x 2 = 0,5r2 x = 0,5r.

Zatem szukane sinusy to

3,5r + x 4r 4 ---------= ---= -- 2R 5r 5 3,5r-−-x-= 3r-= 3. 2R 5r 5

Sposób V

Tym razem skorzystamy ze wzoru

a+--b−-c- r = 2

na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. Mamy więc

c 5-= R- = --2---= ----c----. 2 r a+b−c- a + b− c 2

Aby otrzymać sinusy kątów ostrych dzielimy licznik i mianownik ułamka z prawej strony przez .

5 1 1 --= a---b-----= ----------------- 2 c + c − 1 sin α + cos α− 1 2 7 sinα + cosα = 1+ --= -. 5 5

Podniesiemy teraz tę równość do kwadratu, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

7 cos α = --− sin α /()2 5 cos2 α = 4-9− 14-sin α + sin2 α 2 5 5 2 49 14 2 1− sin α = 25-− -5-sinα + sin α 0 = 2-4− 14-sin α + 2 sin 2α / : 2 2 5 5 1-2 7- 2 0 = 2 5 − 5 sin α + sin α .

Podstawiamy teraz t = sinα i mamy równanie

t2 − 7-t+ 1-2 = 0 5 2 5 4 9 48 1 Δ = ---− ---= --- 27 5 1 25 25 7 1 5 −-5- 3- -5 +-5 4- t = 2 = 5 ∨ t = 2 = 5.

Zatem sin α = 35 lub sin α = 45 . Wtedy odpowiednio sin β = c osα = 45 i sin β = cosα = 3 5 .

Sposób VI

Tak samo jak w pierwszym sposobie dochodzimy do równości 12 sinα cos α = 25 . Tym razem jednak skorzystamy ze wzorów na sin2 α i cos 2α .

2sin αco sα = 24- 25 24 sin 2α = 25- ∘ ---------- ∘ -------- ∘ ---- cos 2α = ± 1− sin 2α = ± 1− 576-= ± -49-= ± -7-. 625 625 25

Zauważmy, że wprawdzie jest kątem ostrym, ale już ostry być nie musi – dlatego właśnie nie możemy założyć, że cos 2α > 0 . Mając obliczony cos2α , możemy obliczyć sin α ze wzoru