Oznaczmy długości przyprostokątnych przez a długość przeciwprostokątnej przez
.
Średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest przeciwprostokątna. W szczególności promień okręgu opisanego jest równy .
Sposób I
Promień okręgu wpisanego obliczymy ze wzoru na pole:
Zapiszmy teraz podaną informację o stosunku promieni
Ponieważ mamy obliczyć i
podzielmy licznik i mianownik powyższego ułamka przez
.
Pozostało rozwiązać otrzymane równanie trygonometryczne. Przekształcamy je tak, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.
Ponownie podniesiemy równanie do kwadratu, aby móc skorzystać jedynki trygonometrycznej.
Podstawmy teraz .
Zatem lub
. Wtedy odpowiednio
i
.
Sposób II
Tak samo jak w poprzednim sposobie dochodzimy do równości . Tym razem jednak skorzystamy ze wzorów na
i
.
Zauważmy, że wprawdzie jest kątem ostrym, ale
już ostry być nie musi – dlatego właśnie nie możemy założyć, że
. Mając wyliczony
, możemy wyliczyć
ze wzoru
( jest kątem ostrym więc nie ma wątpliwości ze znakiem pierwiastka). W zależności od znaku
mamy więc
lub
Wtedy odpowiednio i
.
Sposób III
Tym razem skorzystamy ze wzoru
na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. Mamy więc
Aby otrzymać sinusy kątów ostrych dzielimy licznik i mianownik ułamka z prawej strony przez .
Podniesiemy teraz tę równość do kwadratu, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.
Podstawiamy teraz i mamy równanie
Zatem lub
. Wtedy odpowiednio
i
.
Odpowiedź: i