Zadanie nr 3945452
Wyznaczyć sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego wiedząc, że stosunek promieni okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkąt jest równy .
Rozwiązanie
Oznaczmy długości przyprostokątnych przez a długość przeciwprostokątnej przez
.
Średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest przeciwprostokątna. W szczególności promień okręgu opisanego jest równy .
Sposób I
Promień okręgu wpisanego obliczymy ze wzoru na pole:
![1ab = S = 1-(a+ b+ c)r 2 2 ---ab---- r = a+ b+ c.](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR4x.png)
Zapiszmy teraz podaną informację o stosunku promieni
![5 R c ac+ bc + c2 --= --= --a2b-- = ------------. 2 r a+b-+c 2ab](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR5x.png)
Ponieważ mamy obliczyć i
podzielmy licznik i mianownik powyższego ułamka przez
.
![a b c +-c +-1- sin-α-+-cos-α+--1 5 = a ⋅ b = sinα ⋅co sα c c 5 sin α ⋅cosα = sin α + cos α + 1.](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR9x.png)
Pozostało rozwiązać otrzymane równanie trygonometryczne. Przekształcamy je tak, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.
![5 sin α ⋅cos α− 1 = sinα + co sα /()2 25 sin2α cos2 α− 10sin αcos α + 1 = sin2 α+ 2sinα cos α+ cos2α 2 2 25 sin α cos α = 12 sin α cosα / : 25 sin α cosα 12- sin α cosα = 25 .](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR10x.png)
Ponownie podniesiemy równanie do kwadratu, aby móc skorzystać jedynki trygonometrycznej.
![sin α cosα = 12- /()2 25 2 2 144- sin α cos α = 625 14 4 sin 2α(1 − sin2 α) = ----. 62 5](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR11x.png)
Podstawmy teraz .
![144 t2 − t+ ----= 0 625 ( ) 576 49 7 2 Δ = 1 − ----= ----= --- 625 625 2 5 1− 725 9 1 + 725- 16 t = --2----= 25- ∨ t = ---2---= 25-.](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR13x.png)
Zatem lub
. Wtedy odpowiednio
i
.
Sposób II
Wiemy, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dwa razy dłuższa od promienia okręgu opisanego, więc
![c -2 = 5- ⇒ c = 5r. r 2](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR18x.png)
Stąd
![5r = c = (a − r) + (b − r) = a + b− 2r ⇒ b = 7r − a.](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR19x.png)
Udało nam się więc wyrazić długości wszystkich trójkąta w zależności od i
.
![ZINFO-FIGURE](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR22x.png)
Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa.
![c2 = a2 + b2 2 2 2 2 2 2 25r = a + (7r − a) = a + 49r − 14ar + a / : 2 0 = a2 − 7ar + 12r2.](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR23x.png)
Traktujemy jak parametr i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
![2 2 2 Δ = 4 9r − 4 8r = r 7r−--r 7r-+-r a = 2 = 3r lub a = 2 = 4r.](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR25x.png)
Interesujące nas sinusy kątów ostrych są więc równe
![a- 3r- 3- a- 4r- 4- sin α = c = 5r = 5 lub sin α = c = 5r = 5 .](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR26x.png)
Sposób III
Tak jak w poprzednim sposobie dochodzimy do równości
![{ c = 5r a + b = 7r.](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR27x.png)
Podnosimy teraz drugą z tych równości do kwadratu i korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
![a2 + b2 + 2ab = 49r2 c2 + 2ab = 49r2 2 2 2 25r + 2ab = 4 9r ⇒ ab = 12r .](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR28x.png)
Mamy zatem układ równań
![{ a+ b = 7r ab = 12r2](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR29x.png)
Możemy go rozwiązać, ale tak naprawdę nie potrzebujemy wartości i
, ale sinusy, czyli liczby
i
. Dzielimy zatem pierwsze równanie przez równość
, a drugie przez
i mamy układ
![{ a b 7 c + c = 5 ac ⋅ bc = 1225.](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR36x.png)
Na mocy wzorów Viète’a oznacza to, że szukane sinusy są pierwiastkami równania kwadratowego
![7 12 x2 − --x+ ---= 0 5 25 Δ = 49-− 48-= -1- 25 25 2 5 7− 1 3 7 + 1 4 x = 5---5-= -- ∨ x = 5---5-= -. 2 5 2 5](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR37x.png)
Sposób IV
Oznaczmy długość odcinka łączącego środek przeciwprostokątnej z punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną przez .
![ZINFO-FIGURE](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR39x.png)
Wiemy, że , zatem przyprostokątne mają odpowiednio długości
![r + R + x = 3,5r+ x r + R − x = 3,5r− x.](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR41x.png)
Pozostało teraz napisać twierdzenie Pitagorasa.
![(3,5r + x )2 + (3,5r − x)2 = (2R)2 = 2 5r2 2 2 2 2 2 12 ,25r + 7rx+ x + 12,25r − 7rx + x = 2 5r 2x 2 = 0,5r2 x = 0,5r.](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR42x.png)
Zatem szukane sinusy to
![3,5r-+-x-= 4r-= 4- 2R 5r 5 3,5r-−-x- 3r- 3- 2R = 5r = 5.](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR43x.png)
Sposób V
Tym razem skorzystamy ze wzoru
![r = a+--b−-c- 2](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR44x.png)
na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. Mamy więc
![c 5- R- --2--- ----c---- 2 = r = a+b−c-= a + b− c. 2](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR45x.png)
Aby otrzymać sinusy kątów ostrych dzielimy licznik i mianownik ułamka z prawej strony przez .
![5-= ----1-----= -------1--------- 2 ac + bc − 1 sin α + cos α− 1 2 7 sinα + cosα = 1+ --= -. 5 5](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR47x.png)
Podniesiemy teraz tę równość do kwadratu, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.
![cos α = 7-− sin α /()2 5 2 4-9 14- 2 cos α = 2 5 − 5 sin α + sin α 49 14 1− sin 2α = ---− ---sinα + sin 2α 25 5 2-4 14- 2 0 = 2 5 − 5 sin α + 2 sin α / : 2 1 2 7 0 = ---− --sin α + sin2α . 2 5 5](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR48x.png)
Podstawiamy teraz i mamy równanie
![7 1 2 t2 − --t+ --- = 0 5 2 5 Δ = 4-9− 48-= -1- 2 5 25 25 7− 1 3 7+ 1 4 t = 5---5-= -- ∨ t = -5---5 = -. 2 5 2 5](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR50x.png)
Zatem lub
. Wtedy odpowiednio
i
.
Sposób VI
Tak samo jak w pierwszym sposobie dochodzimy do równości . Tym razem jednak skorzystamy ze wzorów na
i
.
![2sin αco sα = 24- 25 24- sin 2α = 25 ∘ ---------- ∘ -------- ∘ ---- cos 2α = ± 1− sin 2α = ± 1− 576-= ± -49-= ± -7-. 625 625 25](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR58x.png)
Zauważmy, że wprawdzie jest kątem ostrym, ale
już ostry być nie musi – dlatego właśnie nie możemy założyć, że
. Mając obliczony
, możemy obliczyć
ze wzoru
![cos2α = 1− 2sin2 α 2 sin 2α = 1 − co s2α ∘ ----------- sin α = 1-−-cos-2α. 2](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR64x.png)
( jest kątem ostrym więc nie ma wątpliwości ze znakiem pierwiastka). W zależności od znaku
mamy więc
![∘ ------- 1 − 7- ∘ -9- 3 sinα = -----25-= ---= -- 2 25 5](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR67x.png)
lub
![∘ ------- 1 + -7 ∘ 16- 4 sin α = ----25-= ---= --. 2 25 5](https://img.zadania.info/zad/3945452/HzadR68x.png)
Wtedy odpowiednio i
.
Odpowiedź: i