Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3945452

Wyznaczyć sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego wiedząc, że stosunek promieni okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkąt jest równy 52 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy długości przyprostokątnych przez a,b a długość przeciwprostokątnej przez c .


PIC


Średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest przeciwprostokątna. W szczególności promień okręgu opisanego jest równy R = c2 .

Sposób I

Promień okręgu wpisanego obliczymy ze wzoru na pole:

 1 S = -(a+ b+ c)r 2 1- 1- 2ab = 2(a + b + c)r ab r = ---------. a + b + c

Zapiszmy teraz podaną informację o stosunku promieni

5 R c ac+ bc + c2 --= --= --a2b-- = ------------. 2 r a+b-+c 2ab

Ponieważ mamy obliczyć sin α = ac i sinβ = cos α = bc podzielmy licznik i mianownik powyższego ułamka przez c2 .

 a b 5 = c-+--c +-1- ac ⋅ bc sin α+ cosα + 1 5 = ----------------- sin α ⋅cos α 5sin α⋅co sα = sin α + cosα + 1.

Pozostało rozwiązać otrzymane równanie trygonometryczne. Przekształcamy je tak, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

5 sin α ⋅cos α− 1 = sinα + co sα /()2 2 2 2 2 25 sin α cos α− 10sin αcos α + 1 = sin α+ 2sinα cos α+ cos α 2 2 25 sin α cos α = 12 sin α cosα / : 25 sin α cosα 12- sin α cosα = 25 .

Ponownie podniesiemy równanie do kwadratu, aby móc skorzystać jedynki trygonometrycznej.

 12 sin α cosα = --- /()2 25 2 2 144- sin α cos α = 625 2 2 14 4 sin α(1 − sin α) = ----. 62 5

Podstawmy teraz t = sin2α .

 144 t2 − t+ ----= 0 625 ( ) 576- 49-- -7- 2 Δ = 1 − 625 = 625 = 2 5 7 7 1−--25- 9-- 1-+--25- 16- t = 2 = 25 ∨ t = 2 = 25 .

Zatem sin α = 35 lub sin α = 45 . Wtedy odpowiednio sin β = c osα = 45 i sin β = cosα = 3 5 .

Sposób II

Tak samo jak w poprzednim sposobie dochodzimy do równości sin αco sα = 12- 25 . Tym razem jednak skorzystamy ze wzorów na sin2 α i cos 2α .

 1-2 sin αcos α = 2 5 / ⋅2 24 2sin αco sα = --- 25 24- sin 2α = 25 ∘ ---------- ∘ -------- ∘ ---- cos 2α = ± 1− sin 2α = ± 1− 576-= ± -49-= ± -7-. 625 625 25

Zauważmy, że wprawdzie α jest kątem ostrym, ale 2α już ostry być nie musi – dlatego właśnie nie możemy założyć, że cos 2α > 0 . Mając wyliczony cos2α , możemy wyliczyć sin α ze wzoru

 2 cos2α = 1− 2sin α 2 sin 2α = 1 − co s2α ∘ ----------- sin α = 1-−-cos-2α. 2

(α jest kątem ostrym więc nie ma wątpliwości ze znakiem pierwiastka). W zależności od znaku cos 2α mamy więc

 ∘ ------- 7- ∘ --- sinα = 1-−--25-= 9--= 3- 2 25 5

lub

 ∘ ------- --- 1 + -7 ∘ 16 4 sin α = ----25-= ---= --. 2 25 5

Wtedy odpowiednio  4 sin β = cosα = 5 i  3 sin β = cos α = 5 .

Sposób III

Tym razem skorzystamy ze wzoru

 a+--b−-c- r = 2

na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. Mamy więc

5- R- --c2--- ----c---- 2 = r = a+b−c-= a + b− c. 2

Aby otrzymać sinusy kątów ostrych dzielimy licznik i mianownik ułamka z prawej strony przez c .

5-= ----1----- 2 ac + bc − 1 5 1 --= ----------------- 2 sin α + cos α− 1 2- 7- sinα + co sα = 1 + 5 = 5 .

Podniesiemy teraz tę równość do kwadratu, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

 7- 2 cos α = 5 − sin α /() 4 9 14 cos2 α = ---− ---sin α + sin2 α 2 5 5 1− sin 2α = 49-− 14-sinα + sin 2α 25 5 2 4 14 2 0 = ---− ---sin α + 2 sin α / : 2 2 5 5 0 = 1-2− 7-sin α + sin2α . 2 5 5

Podstawiamy teraz t = sinα i mamy równanie

t2 − 7-t+ 1-2 = 0 5 2 5 4 9 48 1 Δ = 2-5 − 25-= 25- 7 1 7 1 t = 5 −-5-= 3- ∨ t = -5 +-5 = 4. 2 5 2 5

Zatem sin α = 35 lub sin α = 45 . Wtedy odpowiednio sin β = c osα = 45 i sin β = cosα = 3 5 .  
Odpowiedź: 3 5 i 4 5

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!