Wyznaczyć sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego wiedząc,... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Kąty, funkcje trygonometryczne, 3945452

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Prostokątny

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Kąty, funkcje trygonometryczne

Zadanie nr 3945452

Wyznaczyć sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego wiedząc, że stosunek promieni okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkąt jest równy $52$ .

Rozwiązanie

Oznaczmy długości przyprostokątnych przez $a,b$ a długość przeciwprostokątnej przez $c$ .

Średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest przeciwprostokątna. W szczególności promień okręgu opisanego jest równy $R = c2$ .

Sposób I

Promień okręgu wpisanego obliczymy ze wzoru na pole:

1 1 -ab = S = --(a+ b+ c)r 2 2 ---ab---- r = a+ b+ c.

Zapiszmy teraz podaną informację o stosunku promieni

c 5- R- ---2-- ac+-bc-+-c2- 2 = r = --ab-- = 2ab . a+b +c

Ponieważ mamy obliczyć $a sin α = c$ i $b sinβ = cos α = c$ podzielmy licznik i mianownik powyższego ułamka przez $c2$ .

a b c +-c +-1- sin-α-+-cos-α+--1 5 = a ⋅ b = sinα ⋅co sα c c 5 sin α ⋅cosα = sin α + cos α + 1.

Pozostało rozwiązać otrzymane równanie trygonometryczne. Przekształcamy je tak, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

2 5 sin α ⋅cos α− 1 = sinα + co sα /() 25 sin2α cos2 α− 10sin αcos α + 1 = sin2 α+ 2sinα cos α+ cos2α 2 2 25 sin α cos α = 12 sin α cosα / : 25 sin α cosα 12 sin α cosα = ---. 25

Ponownie podniesiemy równanie do kwadratu, aby móc skorzystać jedynki trygonometrycznej.

sin α cosα = 12- /()2 25 2 2 144- sin α cos α = 625 sin 2α(1 − sin2 α) = 14-4. 62 5

Podstawmy teraz $2 t = sin α$ .

144 t2 − t+ ----= 0 625 ( ) 576- 49-- -7- 2 Δ = 1 − 625 = 625 = 2 5 1−--725- 9-- 1-+--725- 16- t = 2 = 25 ∨ t = 2 = 25 .

Zatem $3 sin α = 5$ lub $4 sin α = 5$ . Wtedy odpowiednio $4 sin β = c osα = 5$ i $3 sin β = cosα = 5$ .

Sposób II

Wiemy, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dwa razy dłuższa od promienia okręgu opisanego, więc

c -2 = 5- ⇒ c = 5r. r 2

Stąd

5r = c = (a − r) + (b − r) = a + b− 2r ⇒ b = 7r − a.

Udało nam się więc wyrazić długości wszystkich trójkąta w zależności od $a$ i $r$ .

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa.

2 2 2 c = a + b 25r2 = a2 + (7r − a)2 = a2 + 49r2 − 14ar + a2 / : 2 2 2 0 = a − 7ar + 12r .

Traktujemy $r$ jak parametr i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

2 2 2 Δ = 4 9r − 4 8r = r 7r−--r 7r-+-r a = 2 = 3r lub a = 2 = 4r.

Interesujące nas sinusy kątów ostrych są więc równe

sin α = a-= 3r-= 3- lub sin α = a-= 4r-= 4-. c 5r 5 c 5r 5

Sposób III

Tak jak w poprzednim sposobie dochodzimy do równości

{ c = 5r a + b = 7r.

Podnosimy teraz drugą z tych równości do kwadratu i korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

2 2 2 a + b + 2ab = 49r c2 + 2ab = 49r2 2 2 2 25r + 2ab = 4 9r ⇒ ab = 12r .

Mamy zatem układ równań

{ a+ b = 7r ab = 12r2

Możemy go rozwiązać, ale tak naprawdę nie potrzebujemy wartości $a$ i $b$ , ale sinusy, czyli liczby $ac$ i $bc$ . Dzielimy zatem pierwsze równanie przez równość $c = 5r$ , a drugie przez $c2 = 25r2$ i mamy układ

{ a + b = 7 ca bc 125 c ⋅c = 25.

Na mocy wzorów Viète’a oznacza to, że szukane sinusy są pierwiastkami równania kwadratowego

2 7- 12- x − 5 x+ 25 = 0 49 48 1 Δ = ---− ---= --- 25 25 2 5 75 −-15- 3- 75-+-15- 4- x = 2 = 5 ∨ x = 2 = 5.

Sposób IV

Oznaczmy długość odcinka łączącego środek przeciwprostokątnej z punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną przez $x$ .

Wiemy, że $R = 5r = 2,5r 2$ , zatem przyprostokątne mają odpowiednio długości

r + R + x = 3,5r+ x r + R − x = 3,5r− x.

Pozostało teraz napisać twierdzenie Pitagorasa.

2 2 2 2 (3,5r + x ) + (3,5r − x) = (2R) = 2 5r 12 ,25r2 + 7rx+ x2 + 12,25r2 − 7rx + x2 = 2 5r2 2x 2 = 0,5r2 x = 0,5r.

Zatem szukane sinusy to

3,5r + x 4r 4 ---------= ---= -- 2R 5r 5 3,5r-−-x-= 3r-= 3. 2R 5r 5

Sposób V

Tym razem skorzystamy ze wzoru

a+--b−-c- r = 2

na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. Mamy więc

c 5-= R- = --2---= ----c----. 2 r a+b−c- a + b− c 2

Aby otrzymać sinusy kątów ostrych dzielimy licznik i mianownik ułamka z prawej strony przez $c$ .

5 1 1 --= a---b-----= ----------------- 2 c + c − 1 sin α + cos α− 1 2 7 sinα + cosα = 1+ --= -. 5 5

Podniesiemy teraz tę równość do kwadratu, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

7 cos α = --− sin α /()2 5 cos2 α = 4-9− 14-sin α + sin2 α 2 5 5 2 49 14 2 1− sin α = 25-− -5-sinα + sin α 0 = 2-4− 14-sin α + 2 sin 2α / : 2 2 5 5 1-2 7- 2 0 = 2 5 − 5 sin α + sin α .

Podstawiamy teraz $t = sinα$ i mamy równanie

t2 − 7-t+ 1-2 = 0 5 2 5 4 9 48 1 Δ = ---− ---= --- 27 5 1 25 25 7 1 5 −-5- 3- -5 +-5 4- t = 2 = 5 ∨ t = 2 = 5.

Zatem $sin α = 35$ lub $sin α = 45$ . Wtedy odpowiednio $sin β = c osα = 45$ i $sin β = cosα = 3 5$ .

Sposób VI

Tak samo jak w pierwszym sposobie dochodzimy do równości $12 sinα cos α = 25$ . Tym razem jednak skorzystamy ze wzorów na $sin2 α$ i $cos 2α$ .

2sin αco sα = 24- 25 24 sin 2α = 25- ∘ ---------- ∘ -------- ∘ ---- cos 2α = ± 1− sin 2α = ± 1− 576-= ± -49-= ± -7-. 625 625 25

Zauważmy, że wprawdzie $α$ jest kątem ostrym, ale $2α$ już ostry być nie musi – dlatego właśnie nie możemy założyć, że $cos 2α > 0$ . Mając obliczony $cos2α$ , możemy obliczyć $sin α$ ze wzoru