Zadanie nr 5907034
Dany jest trójkąt prostokątny . Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta
, który ma większą miarę.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od rysunku.
Sposób I
Promień okręgu wpisanego obliczamy ze wzoru na pole.

Mamy zatem

Podzielimy teraz licznik i mianownik przez , tak aby móc skorzystać z równości
i
.

Podstawiamy teraz i mamy

Liczymy

Stąd lub
, czyli
lub
. Interesuje nas większy z kątów ostrych, więc
.
Sposób II
Wiemy, że

Stąd

Udało nam się więc wyrazić długości wszystkich trójkąta w zależności od i
.

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa.

Traktujemy jak parametr i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

Interesujące nas sinusy kątów ostrych są więc równe

Interesuje nas większy z kątów ostrych, więc .
Sposób III
Tak jak w poprzednim sposobie dochodzimy do równości

Podnosimy teraz drugą z tych równości do kwadratu i korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

Mamy zatem układ równań

Możemy go rozwiązać, ale tak naprawdę nie potrzebujemy wartości i
, ale sinusy, czyli liczby
i
. Dzielimy zatem pierwsze równanie przez równość
, a drugie przez
i mamy układ

Na mocy wzorów Viète’a oznacza to, że szukane sinusy są pierwiastkami równania kwadratowego

Interesuje nas większy z kątów ostrych, więc .
Sposób IV
Oznaczmy długość odcinka łączącego środek przeciwprostokątnej z punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną przez .

Wiemy, że , zatem przyprostokątne mają odpowiednio długości

Pozostało teraz napisać twierdzenie Pitagorasa.

Zatem sinus większego z kątów trójkąta jest równy

Sposób V
Tym razem skorzystamy ze wzoru

na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. Mamy więc

Zauważmy, że ułamki, które otrzymaliśmy z prawej strony to dokładnie funkcje trygonometryczne kąta .

Podniesiemy teraz tę równość do kwadratu, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

Podstawiamy teraz i mamy równanie

Zatem lub
. Interesuje nas większy z kątów ostrych, więc
.
Sposób VI
Tak samo jak w pierwszym sposobie dochodzimy do równości . Tym razem jednak skorzystamy ze wzorów na
i
.

Zauważmy, że wprawdzie jest kątem ostrym, ale
już ostry być nie musi – dlatego właśnie nie możemy założyć, że
. Mając obliczony
, możemy obliczyć
ze wzoru

( jest kątem ostrym więc nie ma wątpliwości ze znakiem pierwiastka). W zależności od znaku
mamy więc

lub

Interesuje nas większy z kątów ostrych, więc .
Odpowiedź: