Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Promień okręgu wpisanego w... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Kąty, funkcje trygonometryczne, 5907034

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Prostokątny

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Kąty, funkcje trygonometryczne

Zadanie nr 5907034

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$ . Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta $ABC$ , który ma większą miarę.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

Sposób I

Promień okręgu wpisanego obliczamy ze wzoru na pole.

1ab = P = pr = a+--b+--c⋅r 2 2 ---ab---- r = a+ b+ c.

Mamy zatem

1 r a+abb+c- ab --= - = ------= -----------2. 5 c c ac + bc + c

Podzielimy teraz licznik i mianownik przez $2 c$ , tak aby móc skorzystać z równości $a sin α = c$ i $b cos α = c$ .

a b 1-= ---c-⋅c--- = ---sin-αco-sα---- 5 ac + bc + 1 sin α+ cosα + 1 2 5 sin α cosα − 1 = sin α + co sα / () 25 sin2α cos2 α− 10sin αcos α + 1 = sin2 α+ cos2α + 2 sin α cosα 25 sin2α cos2 α = 12 sin α cosα / : sinα cos α 2 25 sinα cos α = 12 /() 62 5sin2α cos2 α = 144 2 2 62 5sin α (1− sin α) = 14 4.

Podstawiamy teraz $sin2 α = t$ i mamy

2 62 5t − 62 5t+ 14 4 = 0.

Liczymy

Δ = 625 2 − 4 ⋅625 ⋅144 = 625(625 − 5 76) = 625 ⋅49 = (2 5⋅7)2 = 1752.

Stąd $t = 0,36$ lub $t = 0,64$ , czyli $sinα = 0,6$ lub $sinα = 0,8$ . Interesuje nas większy z kątów ostrych, więc $sinα = 0,8$ .

Sposób II

Wiemy, że

r= 1- ⇒ c = 5r. c 5

Stąd

5r = c = (a − r) + (b − r) = a + b− 2r ⇒ b = 7r − a.

Udało nam się więc wyrazić długości wszystkich trójkąta w zależności od $a$ i $r$ .

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa.

c2 = a2 + b2 2 2 2 2 2 2 25r = a + (7r − a) = a + 49r − 14ar + a / : 2 0 = a2 − 7ar + 12r2.

Traktujemy $r$ jak parametr i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

Δ = 4 9r2 − 4 8r2 = r2 a = 7r−--r= 3r lub a = 7r-+-r = 4r. 2 2

Interesujące nas sinusy kątów ostrych są więc równe

a 3r 3 a 4r 4 sin α = c-= 5r-= 5- lub sin α = c-= 5r-= 5-.

Interesuje nas większy z kątów ostrych, więc $sinα = 4 5$ .

Sposób III

Tak jak w poprzednim sposobie dochodzimy do równości

{ c = 5r a + b = 7r.

Podnosimy teraz drugą z tych równości do kwadratu i korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

2 2 2 a + b + 2ab = 49r c2 + 2ab = 49r2 25r2 + 2ab = 4 9r2 ⇒ ab = 12r2.

Mamy zatem układ równań

{ a+ b = 7r ab = 12r2

Możemy go rozwiązać, ale tak naprawdę nie potrzebujemy wartości $a$ i $b$ , ale sinusy, czyli liczby $a c$ i $b c$ . Dzielimy zatem pierwsze równanie przez równość $c = 5r$ , a drugie przez $c2 = 25r2$ i mamy układ

{ ac + bc = 75 a ⋅ b = 12. c c 25

Na mocy wzorów Viète’a oznacza to, że szukane sinusy są pierwiastkami równania kwadratowego

x2 − 7-x+ 12-= 0 5 25 49- 48- -1- Δ = 25 − 25 = 2 5 7 1 7 1 x = 5 −-5-= 3- ∨ x = 5-+-5-= 4. 2 5 2 5

Interesuje nas większy z kątów ostrych, więc $sinα = 45$ .

Sposób IV

Oznaczmy długość odcinka łączącego środek przeciwprostokątnej z punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną przez $x$ .

Wiemy, że $c = 5r$ , zatem przyprostokątne mają odpowiednio długości

r + c-+ x = 3,5r+ x 2 c- r + 2 − x = 3,5r− x.

Pozostało teraz napisać twierdzenie Pitagorasa.

(3,5r + x )2 + (3,5r − x)2 = c2 = 25r2 2 2 2 2 2 12 ,25r + 7rx+ x + 12,25r − 7rx + x = 2 5r 2x 2 = 0,5r2 x = 0,5r.

Zatem sinus większego z kątów trójkąta jest równy

3,5r-+-x-= 4r-= 4. c 5r 5

Sposób V

Tym razem skorzystamy ze wzoru

a+ b− c r = --------- 2

na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. Mamy więc

a+b−c- ( ) 1-= r = --2---= a-+-b-−-c = 1- a-+ b-− 1 . 5 c c 2c 2 c c

Zauważmy, że ułamki, które otrzymaliśmy z prawej strony to dokładnie funkcje trygonometryczne kąta $α$ .

1-= 1-(sin α + cos α − 1) / ⋅2 5 2 2 7 sin α+ cosα = 1+ --= -. 5 5

Podniesiemy teraz tę równość do kwadratu, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

7 cos α = --− sin α /()2 5 cos2 α = 4-9− 14-sin α + sin2 α 2 5 5 2 49- 14- 2 1− sin α = 25 − 5 sinα + sin α 2 4 14 0 = ---− ---sin α + 2 sin 2α / : 2 2 5 5 1-2 7- 2 0 = 2 5 − 5 sin α + sin α .

Podstawiamy teraz $t = sinα$ i mamy równanie

t2 − 7-t+ 1-2 = 0 5 2 5 4 9 48 1 Δ = ---− ---= --- 27 5 1 25 25 7 1 5 −-5- 3- -5 +-5 4- t = 2 = 5 ∨ t = 2 = 5.

Zatem $sin α = 35$ lub $sin α = 45$ . Interesuje nas większy z kątów ostrych, więc $sin α = 4 5$ .

Sposób VI

Tak samo jak w pierwszym sposobie dochodzimy do równości $sinα cos α = 1225$ . Tym razem jednak skorzystamy ze wzorów na $sin2 α$ i $cos 2α$ .

24 24 2sin αco sα = --- ⇒ sin 2α = --- 25 ∘ ----25-- ∘ ---- ∘ -------2-- 576- -49- -7- cos 2α = ± 1− sin α = ± 1− 625 = ± 625 = ± 25 .

Zauważmy, że wprawdzie $α$ jest kątem ostrym, ale $2α$ już ostry być nie musi – dlatego właśnie nie możemy założyć, że $cos 2α > 0$ . Mając obliczony $cos2α$ , możemy obliczyć $sin α$ ze wzoru