Zadanie nr 9104689
Wyznacz sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego wiedząc, że stosunek promieni okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkąt jest równy .
Rozwiązanie
Oznaczmy długości przyprostokątnych przez a długość przeciwprostokątnej przez
.
Średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest przeciwprostokątna. W szczególności promień okręgu opisanego jest równy .
Sposób I
Promień okręgu wpisanego obliczymy ze wzoru na pole:
![1 1 -ab = S = --(a+ b+ c)r 2 2 ---ab---- r = a+ b+ c.](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR4x.gif)
Zapiszmy teraz podaną informację o stosunku promieni
![c 13- R- --2--- ac-+-bc-+-c2 4 = r = --ab--= 2ab . a+b+c](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR5x.gif)
Ponieważ mamy obliczyć i
podzielmy licznik i mianownik powyższego ułamka przez
.
![a b 1-3 -c +-c +-1 sin-α+--cosα-+-1- 2 = a ⋅ b = sin α ⋅cos α c c 1-3 2 sin α⋅ cosα = sin α + cos α+ 1.](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR9x.gif)
Pozostało rozwiązać otrzymane równanie trygonometryczne. Przekształcamy je tak, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.
![13 ---sin α ⋅cosα − 1 = sinα + co sα / ()2 2 169-sin 2α cos2α − 1 3sinα cos α+ 1 = sin2α + 2 sinα cos α+ cos2α 4 169 2 2 4 -4--sin α cos α = 15sin αco sα /⋅ 169-sin-α-cosα- sinα cos α = -60-. 169](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR10x.gif)
Ponownie podniesiemy równanie do kwadratu, aby móc skorzystać jedynki trygonometrycznej.
![-60- 2 sin α cosα = 169 /() 3 600 sin 2α cos2α = ------ 28561 sin 2α(1 − sin2α ) = -3600-. 285 61](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR11x.gif)
Podstawmy teraz .
![3600 t2 − t+ ------ = 0 2856 1 ( )2 14400- 1416-1 119- Δ = 1 − 28561 = 2856 1 = 169 119 119 1−--169 -25- 1-+--169- 144- t = 2 = 1 69 ∨ t = 2 = 169 .](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR13x.gif)
Zatem lub
. Wtedy odpowiednio
i
.
Sposób II
Wiemy, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dwa razy dłuższa od promienia okręgu opisanego, więc
![c 13 13 2-= --- ⇒ c = ---r. r 4 2](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR18x.gif)
Stąd
![13- 17- 2 r = c = (a − r) + (b − r) = a + b− 2r ⇒ b = 2 r − a.](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR19x.gif)
Udało nam się więc wyrazić długości wszystkich trójkąta w zależności od i
.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR22x.gif)
Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa.
![2 2 2 c = a + b 1 69 ( 17 ) 2 28 9 ----r2 = a2 + --r − a = a2 + ----r2 − 17ar+ a2 4 2 4 0 = 2a 2 − 1 7ar+ 30r2.](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR23x.gif)
Traktujemy jak parametr i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
![Δ = 289r2 − 240r2 = 49r2 a = 17r-−-7r-= 5r lub a = 17r+--7r-= 6r. 4 2 4](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR25x.gif)
Interesujące nas sinusy kątów ostrych są więc równe
![5 sin α = a-= -2r-= -5- lub sin α = a-= 6r--= 12-. c 132 r 13 c 123r 13](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR26x.gif)
Sposób III
Tak jak w poprzednim sposobie dochodzimy do równości
![{ 13 c = 2 r a+ b = 172 r.](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR27x.gif)
Podnosimy teraz drugą z tych równości do kwadratu i korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
![2 2 289 2 a + b + 2ab = ----r 4 c2 + 2ab = 289-r2 4 169-2 289-2 2 4 r + 2ab = 4 r ⇒ ab = 15r .](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR28x.gif)
Mamy zatem układ równań
![{ a + b = 17r 22 ab = 1 5r](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR29x.gif)
Możemy go rozwiązać, ale tak naprawdę nie potrzebujemy wartości i
, ale sinusy, czyli liczby
i
. Dzielimy zatem pierwsze równanie przez równość
, a drugie przez
i mamy układ
![{ a b 17 c + c = 13 ac ⋅ bc = 61069.](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR36x.gif)
Na mocy wzorów Viète’a oznacza to, że szukane sinusy są pierwiastkami równania kwadratowego
![x2 − 1-7x + -60- = 0 1 3 169 289 240 4 9 Δ = 169-− 169-= 169- 17 7- 17 -7 x = 13 −-13-= 5-- ∨ x = 13-+-13-= 12. 2 13 2 13](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR37x.gif)
Sposób IV
Oznaczmy długość odcinka łączącego środek przeciwprostokątnej z punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną przez .
![PIC](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR39x.gif)
Wiemy, że , zatem przyprostokątne mają odpowiednio długości
![17 r+ R + x = ---r+ x 4 17- r+ R − x = 4 r− x.](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR41x.gif)
Pozostało teraz napisać twierdzenie Pitagorasa.
![( ) 2 ( ) 2 17r + x + 17r − x = (2R )2 = 16-9r2 4 4 4 289 17 289 17 169 ---r2 + ---rx + x2 + ----r2 − --rx + x2 = ---r2 16 2 16 2 4 2x2 = 16-9r2 − 578-r2 = 338-−-289-r2 = 49-r2 4 1 6 8 8 7- x = 4 r.](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR42x.gif)
Zatem szukane sinusy to
![147r+ x 244r 12 --------= 26--= --- 2R 4 r 13 17r− x 10r 5 4-------= 426--= ---. 2R 4 r 13](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR43x.gif)
Sposób V
Tym razem skorzystamy ze wzoru
![a+--b−-c- r = 2](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR44x.gif)
na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. Mamy więc
![c 13-= R-= ---2-- = ---c-----. 4 r a+b-−c a+ b − c 2](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR45x.gif)
Aby otrzymać sinusy kątów ostrych dzielimy licznik i mianownik ułamka z prawej strony przez .
![1 3 1 1 --- = -a---b---- = ----------------- 4 c + c − 1 sin α+ cosα − 1 4 17 sin α + cos α = 1 + ---= ---. 13 13](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR47x.gif)
Podniesiemy teraz tę równość do kwadratu, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.
![17 cosα = ---− sin α / ()2 13 cos2α = 289-− 34sin α+ sin 2α 169 13 2 289- 34- 2 1 − sin α = 169 − 13 sin α + sin α 120 3 4 0 = ----− ---sin α+ 2sin2 α / : 2 169 1 3 6-0- 1-7 2 0 = 169 − 1 3 sin α+ sin α.](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR48x.gif)
Podstawiamy teraz i mamy równanie
![1 7 60 t2 − ---t+ ----= 0 1 3 169 Δ = 289-− 24-0 = -49- 169 16 9 1 69 17− 7- 5 17+ 7- 12 t = 13---13-= --- ∨ t = -13---13= ---. 2 13 2 13](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR50x.gif)
Zatem lub
. Wtedy odpowiednio
i
.
Sposób VI
Tak samo jak w pierwszym sposobie dochodzimy do równości . Tym razem jednak skorzystamy ze wzorów na
i
.
![120 2sin αco sα = ---- 169 1-20 sin 2α = 1 69 ∘ ---------- ∘ ----------- ∘ ------- co s2α = ± 1− sin 2α = ± 1− 14400-= ± 1-4161 = ± 119. 28561 2 8561 169](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR58x.gif)
Zauważmy, że wprawdzie jest kątem ostrym, ale
już ostry być nie musi – dlatego właśnie nie możemy założyć, że
. Mając obliczony
, możemy obliczyć
ze wzoru
![2 cos2α = 1− 2sin α 2 sin 2α = 1 − co s2α ∘ ----------- sin α = 1-−-cos-2α. 2](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR64x.gif)
( jest kątem ostrym więc nie ma wątpliwości ze znakiem pierwiastka). W zależności od znaku
mamy więc
![∘ -------- 119 ∘ ---- sin α = 1−--169 = 2-5-= 5-- 2 169 13](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR67x.gif)
lub
![∘ -------- ---- 1+ 119- ∘ 144 12 sin α = ----169-= ----= --. 2 169 13](https://img.zadania.info/zad/9104689/HzadR68x.gif)
Wtedy odpowiednio i
.
Odpowiedź: