Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9104689

Wyznacz sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego wiedząc, że stosunek promieni okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkąt jest równy 143 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy długości przyprostokątnych przez a,b a długość przeciwprostokątnej przez c .


PIC


Średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest przeciwprostokątna. W szczególności promień okręgu opisanego jest równy R = c2 .

Sposób I

Promień okręgu wpisanego obliczymy ze wzoru na pole:

 1 S = -(a+ b+ c)r 2 1- 1- 2ab = 2(a + b + c)r ab r = ---------. a + b + c

Zapiszmy teraz podaną informację o stosunku promieni

13 R c ac + bc + c2 ---= --= --2ab--= ------------. 4 r a+b+c- 2ab

Ponieważ mamy obliczyć sin α = ac i sinβ = cos α = bc podzielmy licznik i mianownik powyższego ułamka przez c2 .

 a b 13-= c-+-c-+-1- 2 ac ⋅ bc 13 sinα + co sα + 1 ---= ----------------- 2 sin α ⋅cosα 13- 2 sinα ⋅cos α = sin α+ cosα + 1.

Pozostało rozwiązać otrzymane równanie trygonometryczne. Przekształcamy je tak, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

13- 2 2 sin α ⋅cosα − 1 = sinα + co sα / () 169 ----sin 2α cos2α − 1 3sinα cos α+ 1 = sin2α + 2 sinα cos α+ cos2α 4 169-sin 2α cos2α = 15sin αco sα /⋅ ------4------- 4 169 sin α cosα 60 sinα cos α = 169-.

Ponownie podniesiemy równanie do kwadratu, aby móc skorzystać jedynki trygonometrycznej.

sin α cosα = -60- /()2 169 2 2 3-600- sin α cos α = 28561 3600 sin 2α(1 − sin2α ) = ------. 285 61

Podstawmy teraz  2 t = sin α .

t2 − t+ -3600- = 0 2856 1 14400 1416 1 ( 119 )2 Δ = 1 − ------= ------ = ---- 28561 2856 1 169 1− 119 25 1 + 119- 144 t = ----169 = ---- ∨ t = -----169 = ----. 2 1 69 2 169

Zatem  -5 sin α = 13 lub  12 sin α = 13 . Wtedy odpowiednio  12 sin β = cos α = 13 i sin β = cosα = 513 .

Sposób II

Tak samo jak w poprzednim sposobie dochodzimy do równości  60- sin αco sα = 169 . Tym razem jednak skorzystamy ze wzorów na sin2 α i cos 2α .

 60 sin αco sα = ---- /⋅ 2 169 120- 2sin αco sα = 169 1 20 sin 2α = ---- 1 69 ∘ ----------- ∘ ------- ∘ -------2-- 14400- 1-4161 119- co s2α = ± 1− sin α = ± 1− 28561 = ± 2 8561 = ± 169.

Zauważmy, że wprawdzie α jest kątem ostrym, ale 2α już ostry być nie musi – dlatego właśnie nie możemy założyć, że cos 2α > 0 . Mając wyliczony cos2α , możemy wyliczyć sin α ze wzoru

 cos2α = 1− 2sin2 α 2 2 sin α =∘ 1-−-co-s2α-- 1 − cos 2α sin α = ----------. 2

(α jest kątem ostrym więc nie ma wątpliwości ze znakiem pierwiastka). W zależności od znaku cos 2α mamy więc

 ∘ -------- ∘ ---- 1−--111699 2-5- 5-- sin α = 2 = 169 = 13

lub

 -------- ∘ 119 ∘ ---- 1+--169- 144- 12- sin α = 2 = 169 = 13.

Wtedy odpowiednio sin β = cosα = 12 13 i sinβ = cos α = -5 13 .

Sposób III

Tym razem skorzystamy ze wzoru

r = a+--b−-c- 2

na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. Mamy więc

13 R c c ---= --= ---2-- = ---------. 4 r a+b2−c a+ b − c

Aby otrzymać sinusy kątów ostrych dzielimy licznik i mianownik ułamka z prawej strony przez c .

13- ----1----- 4 = a+ b− 1 c c 13- -------1--------- 4 = sin α + cos α− 1 4 1 7 sin α + co sα = 1 + --- = ---. 1 3 1 3

Podniesiemy teraz tę równość do kwadratu, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

 17 cosα = ---− sin α / ()2 13 cos2α = 289-− 34sin α+ sin 2α 169 13 2 289 34 2 1 − sin α = ----− ---sin α + sin α 169 13 0 = 120-− 3-4sin α+ 2sin2 α / : 2 169 1 3 6-0- 1-7 2 0 = 169 − 1 3 sin α+ sin α.

Podstawiamy teraz t = sinα i mamy równanie

2 1 7 60 t − 1-3t+ 169-= 0 Δ = 289-− 24-0 = -49- 169 16 9 1 69 1173 − 713 5 1173 + 713 12 t = --------= --- ∨ t = --------= ---. 2 13 2 13

Zatem sin α = -5 13 lub sin α = 12 13 . Wtedy odpowiednio sin β = cos α = 12 13 i  5 sin β = cosα = 13 .  
Odpowiedź: 153 i 1123

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!