Zadanie nr 9148281
Oblicz sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego, wiedząc, że stosunek długości promienia okręgu wpisanego do promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy .
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od rysunku.
Sposób I
Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym to połowa przeciwprostokątnej (bo jest ona średnicą okręgu opisanego). Zatem . Promień okręgu wpisanego obliczamy ze wzoru na pole.
![1- a+--b+--c 2ab = P = pr = 2 ⋅r ab r = ---------. a+ b+ c](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR2x.gif)
Mamy zatem
![--ab-- a+b+c-= 0,4 ⇒ ----ab------= 0,2 = 1-. c2 ac+ bc + c2 5](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR3x.gif)
Podzielimy teraz licznik i mianownik przez , tak aby móc skorzystać z równości
i
.
![a b 1-= ---c-⋅c--- = ---sin-αco-sα---- 5 ac + bc + 1 sin α+ cosα + 1 2 5 sin α cosα − 1 = sin α + co sα / () 25 sin2α cos2 α− 10sin αcos α + 1 = sin2 α+ cos2α + 2 sin α cosα 25 sin2α cos2 α = 12 sin α cosα / : sinα cos α 2 25 sinα cos α = 12 /() 62 5sin2α cos2 α = 144 2 2 62 5sin α (1− sin α) = 14 4.](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR7x.gif)
Podstawiamy teraz i mamy
![2 62 5t − 62 5t+ 14 4 = 0.](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR9x.gif)
Liczymy
![Δ = 625 2 − 4 ⋅625 ⋅144 = 625(625 − 5 76) = 625 ⋅49 = (2 5⋅7)2 = 1752.](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR10x.gif)
Stąd lub
, czyli
lub
.
Sposób II
Wiemy, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dwa razy dłuższa od promienia okręgu opisanego, więc
![r c-= 0,4 ⇒ c = 5r. 2](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR15x.gif)
Stąd
![5r = c = (a − r) + (b − r) = a + b− 2r ⇒ b = 7r − a.](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR16x.gif)
Udało nam się więc wyrazić długości wszystkich trójkąta w zależności od i
.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR19x.gif)
Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa.
![2 2 2 c = a + b 25r2 = a2 + (7r − a)2 = a2 + 49r2 − 14ar + a2 / : 2 0 = a2 − 7ar + 12r2.](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR20x.gif)
Traktujemy jak parametr i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
![Δ = 4 9r2 − 4 8r2 = r2 a = 7r−--r= 3r lub a = 7r-+-r = 4r. 2 2](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR22x.gif)
Interesujące nas sinusy kątów ostrych są więc równe
![a 3r 3 a 4r 4 sin α = c-= 5r-= 5- lub sin α = c-= 5r-= 5-.](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR23x.gif)
Sposób III
Tak jak w poprzednim sposobie dochodzimy do równości
![{ c = 5r a + b = 7r.](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR24x.gif)
Podnosimy teraz drugą z tych równości do kwadratu i korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
![2 2 2 a + b + 2ab = 49r c2 + 2ab = 49r2 25r2 + 2ab = 4 9r2 ⇒ ab = 12r2.](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR25x.gif)
Mamy zatem układ równań
![{ a+ b = 7r ab = 12r2](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR26x.gif)
Możemy go rozwiązać, ale tak naprawdę nie potrzebujemy wartości i
, ale sinusy, czyli liczby
i
. Dzielimy zatem pierwsze równanie przez równość
, a drugie przez
i mamy układ
![{ ac + bc = 75 a ⋅ b = 12. c c 25](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR33x.gif)
Na mocy wzorów Viète’a oznacza to, że szukane sinusy są pierwiastkami równania kwadratowego
![x2 − 7-x+ 12-= 0 5 25 49- 48- -1- Δ = 25 − 25 = 2 5 7 1 7 1 x = 5 −-5-= 3- ∨ x = 5-+-5-= 4. 2 5 2 5](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR34x.gif)
Sposób IV
Oznaczmy długość odcinka łączącego środek przeciwprostokątnej z punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną przez .
![PIC](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR36x.gif)
Wiemy, że , zatem przyprostokątne mają odpowiednio długości
![r + R + x = 3,5r+ x r + R − x = 3,5r− x.](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR38x.gif)
Pozostało teraz napisać twierdzenie Pitagorasa.
![2 2 2 2 (3,5r + x ) + (3,5r − x) = (2R) = 2 5r 12 ,25r2 + 7rx+ x2 + 12,25r2 − 7rx + x2 = 2 5r2 2x 2 = 0,5r2 x = 0,5r.](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR39x.gif)
Zatem szukane sinusy to
![3,5r + x 4r 4 ---------= ---= -- 2R 5r 5 3,5r-−-x-= 3r-= 3. 2R 5r 5](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR40x.gif)
Sposób V
Tym razem skorzystamy ze wzoru
![r = a+--b−-c- 2](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR41x.gif)
na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. Mamy więc
![a+b−c 2- r- ---2-- a-+-b-−-c a- b- 5 = R = c = c = c + c − 1 . 2](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR42x.gif)
Zauważmy, że ułamki, które otrzymaliśmy z prawej strony to dokładnie funkcje trygonometryczne kąta .
![2 --= sin α+ cosα − 1 5 sinα + co sα = 1 + 2-= 7-. 5 5](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR44x.gif)
Podniesiemy teraz tę równość do kwadratu, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.
![7 cos α = --− sin α /()2 5 cos2 α = 4-9− 14-sin α + sin2 α 2 5 5 2 49- 14- 2 1− sin α = 25 − 5 sinα + sin α 2 4 14 0 = ---− ---sin α + 2 sin 2α / : 2 2 5 5 1-2 7- 2 0 = 2 5 − 5 sin α + sin α .](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR45x.gif)
Podstawiamy teraz i mamy równanie
![t2 − 7-t+ 1-2 = 0 5 2 5 4 9 48 1 Δ = ---− ---= --- 27 5 1 25 25 7 1 5 −-5- 3- -5 +-5 4- t = 2 = 5 ∨ t = 2 = 5.](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR47x.gif)
Zatem lub
.
Sposób VI
Tak samo jak w pierwszym sposobie dochodzimy do równości . Tym razem jednak skorzystamy ze wzorów na
i
.
![24 24 2sin αco sα = --- ⇒ sin 2α = --- 25 ∘ ----25-- ∘ ---- ∘ -------2-- 576- -49- -7- cos 2α = ± 1− sin α = ± 1− 625 = ± 625 = ± 25 .](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR53x.gif)
Zauważmy, że wprawdzie jest kątem ostrym, ale
już ostry być nie musi – dlatego właśnie nie możemy założyć, że
. Mając obliczony
, możemy obliczyć
ze wzoru
![2 cos2α = 1− 2sin α 2 sin 2α = 1 − co s2α ∘ ----------- 1-−-cos-2α sin α = 2 .](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR59x.gif)
( jest kątem ostrym więc nie ma wątpliwości ze znakiem pierwiastka). W zależności od znaku
mamy więc
![∘ ------- 7- ∘ --- sinα = 1-−--25-= 9--= 3- 2 25 5](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR62x.gif)
lub
![∘ ------- 1 + -7 ∘ 16- 4 sin α = ----25-= ---= --. 2 25 5](https://img.zadania.info/zad/9148281/HzadR63x.gif)
Odpowiedź: 0,6 i 0,8