Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9148281

Oblicz sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego, wiedząc, że stosunek długości promienia okręgu wpisanego do promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 0 ,4 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.


PIC


Sposób I

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym to połowa przeciwprostokątnej (bo jest ona średnicą okręgu opisanego). Zatem R = c2 . Promień okręgu wpisanego wyliczamy ze wzoru na pole.

 1- a+--b+--c 2ab = P = pr = 2 ⋅r ab r = ---------. a+ b+ c

Mamy zatem

--ab--- a+b+c-= 0,4 c2 ab ------------= 0,2. ac+ bc + c2

Podzielimy teraz licznik i mianownik przez  2 c , tak aby móc skorzystać z równości sin α = ac i cos α = bc .

 a b --c-⋅c----= 1- ac + bc + 1 5 sin α cosα 1 -----------------= -- sin α + cos α+ 1 5 5 sin α cosα − 1 = sin α + co sα / ()2 2 2 2 2 25 sin α cos α− 10sin αcos α + 1 = sin α+ cos α + 2 sin α cosα 25 sin2α cos2 α = 12 sin α cosα 25 sinα cos α = 12 /()2 2 2 62 5sin α cos α = 144 62 5sin2α (1− sin 2α) = 14 4.

Podstawiając teraz sin 2α = t mamy

62 5t2 − 62 5t+ 14 4 = 0.

Liczymy

Δ = 625 2 − 4 ⋅625 ⋅144 = 625(625 − 5 76) = 625 ⋅49 = (2 5⋅7)2 = 1752.

Stąd t = 0,36 lub t = 0,64 , czyli sin α = 0,6 lub sin α = 0,8 .

Sposób II

Tym razem dorysujmy okrąg wpisany w trójkąt i połączmy jego środek z punktami styczności z bokami trójkąta. Ponieważ przeciwprostokątna trójkąta jest dwa razy dłuższa od promienia okręgu opisanego, mamy

r- c = 0,4 ⇒ c = 5r. 2

Zatem

5r = c = (a − r) + (b − r) = a + b− 2r ⇒ a + b = 7r.

Podnosząc tę równość do kwadratu i stosując twierdzenie Pitagorasa, mamy

 2 2 2 a + b + 2ab = 49r c2 + 2ab = 49r2 2 2 2 25r + 2ab = 4 9r ⇒ ab = 12r .

Mamy zatem układ równań

{ a+ b = 7r ab = 12r2

Możemy go rozwiązać, ale tak naprawdę nie potrzebujemy wartości a i b , ale sinusy, czyli liczby ac i bc . Dzielimy zatem pierwsze równanie przez równość c = 5r , a drugie przez c2 = 25r2 i mamy układ

{ a b 7 c + c = 5 a⋅ b= 12. c c 25

Na mocy wzorów Viète’a oznacza to, że szukane sinusy są pierwiastkami równania kwadratowego

 7 12 x2 − --x+ ---= 0 5 25 49- 48- -1- Δ = 25 − 25 = 2 5 7− 1 7 + 1 x = 5---5-= 3- ∨ x = 5---5-= 4. 2 5 2 5

Sposób III

Tak jak poprzednio dorysowujemy okrąg wpisany w trójkąt i łączymy jego środek z jego punktami styczności z bokami trójkąta. Oznaczmy długość odcinka łączącego środek przeciwprostokątnej z punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną przez x . Wiemy, że R = 01,4-r = 2,5r , zatem przyprostokątne mają odpowiednio długości

r + R + x = 3,5r+ x r + R − x = 3,5r− x.

Pozostało teraz napisać twierdzenie Pitagorasa.

(3,5r + x )2 + (3,5r − x)2 = (2R)2 = 2 5r2 2 2 2 2 2 12 ,25r + 7rx+ x + 12,25r − 7rx + x = 2 5r 2x 2 = 0,5r2 x = 0,5r.

Zatem szukane sinusy to

3,5r + x 4r 4 ---------= ---= -- 2R 5r 5 3,5r-−-x- 3r- 3- 2R = 5r = 5.

 
Odpowiedź: 0,6 i 0,8

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!