Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9148281

Oblicz sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego, wiedząc, że stosunek długości promienia okręgu wpisanego do promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 0 ,4 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.


PIC


Sposób I

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym to połowa przeciwprostokątnej (bo jest ona średnicą okręgu opisanego). Zatem R = c2 . Promień okręgu wpisanego obliczamy ze wzoru na pole.

1- a+--b+--c 2ab = P = pr = 2 ⋅r ab r = ---------. a+ b+ c

Mamy zatem

--ab-- a+b+c-= 0,4 ⇒ ----ab------= 0,2 = 1-. c2 ac+ bc + c2 5

Podzielimy teraz licznik i mianownik przez c2 , tak aby móc skorzystać z równości  a sin α = c i  b cos α = c .

 a b 1-= ---c-⋅c--- = ---sin-αco-sα---- 5 ac + bc + 1 sin α+ cosα + 1 2 5 sin α cosα − 1 = sin α + co sα / () 25 sin2α cos2 α− 10sin αcos α + 1 = sin2 α+ cos2α + 2 sin α cosα 25 sin2α cos2 α = 12 sin α cosα / : sinα cos α 2 25 sinα cos α = 12 /() 62 5sin2α cos2 α = 144 2 2 62 5sin α (1− sin α) = 14 4.

Podstawiamy teraz sin2 α = t i mamy

 2 62 5t − 62 5t+ 14 4 = 0.

Liczymy

Δ = 625 2 − 4 ⋅625 ⋅144 = 625(625 − 5 76) = 625 ⋅49 = (2 5⋅7)2 = 1752.

Stąd t = 0,36 lub t = 0,64 , czyli sin α = 0,6 lub sin α = 0,8 .

Sposób II

Wiemy, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dwa razy dłuższa od promienia okręgu opisanego, więc

r c-= 0,4 ⇒ c = 5r. 2

Stąd

5r = c = (a − r) + (b − r) = a + b− 2r ⇒ b = 7r − a.

Udało nam się więc wyrazić długości wszystkich trójkąta w zależności od a i r .


PIC

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa.

 2 2 2 c = a + b 25r2 = a2 + (7r − a)2 = a2 + 49r2 − 14ar + a2 / : 2 0 = a2 − 7ar + 12r2.

Traktujemy r jak parametr i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

Δ = 4 9r2 − 4 8r2 = r2 a = 7r−--r= 3r lub a = 7r-+-r = 4r. 2 2

Interesujące nas sinusy kątów ostrych są więc równe

 a 3r 3 a 4r 4 sin α = c-= 5r-= 5- lub sin α = c-= 5r-= 5-.

Sposób III

Tak jak w poprzednim sposobie dochodzimy do równości

{ c = 5r a + b = 7r.

Podnosimy teraz drugą z tych równości do kwadratu i korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

 2 2 2 a + b + 2ab = 49r c2 + 2ab = 49r2 25r2 + 2ab = 4 9r2 ⇒ ab = 12r2.

Mamy zatem układ równań

{ a+ b = 7r ab = 12r2

Możemy go rozwiązać, ale tak naprawdę nie potrzebujemy wartości a i b , ale sinusy, czyli liczby a c i b c . Dzielimy zatem pierwsze równanie przez równość c = 5r , a drugie przez c2 = 25r2 i mamy układ

{ ac + bc = 75 a ⋅ b = 12. c c 25

Na mocy wzorów Viète’a oznacza to, że szukane sinusy są pierwiastkami równania kwadratowego

x2 − 7-x+ 12-= 0 5 25 49- 48- -1- Δ = 25 − 25 = 2 5 7 1 7 1 x = 5 −-5-= 3- ∨ x = 5-+-5-= 4. 2 5 2 5

Sposób IV

Oznaczmy długość odcinka łączącego środek przeciwprostokątnej z punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną przez x .


PIC

Wiemy, że R = -1-r = 2,5r 0,4 , zatem przyprostokątne mają odpowiednio długości

r + R + x = 3,5r+ x r + R − x = 3,5r− x.

Pozostało teraz napisać twierdzenie Pitagorasa.

 2 2 2 2 (3,5r + x ) + (3,5r − x) = (2R) = 2 5r 12 ,25r2 + 7rx+ x2 + 12,25r2 − 7rx + x2 = 2 5r2 2x 2 = 0,5r2 x = 0,5r.

Zatem szukane sinusy to

3,5r + x 4r 4 ---------= ---= -- 2R 5r 5 3,5r-−-x-= 3r-= 3. 2R 5r 5

Sposób V

Tym razem skorzystamy ze wzoru

r = a+--b−-c- 2

na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. Mamy więc

 a+b−c 2- r- ---2-- a-+-b-−-c a- b- 5 = R = c = c = c + c − 1 . 2

Zauważmy, że ułamki, które otrzymaliśmy z prawej strony to dokładnie funkcje trygonometryczne kąta α .

2 --= sin α+ cosα − 1 5 sinα + co sα = 1 + 2-= 7-. 5 5

Podniesiemy teraz tę równość do kwadratu, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

 7 cos α = --− sin α /()2 5 cos2 α = 4-9− 14-sin α + sin2 α 2 5 5 2 49- 14- 2 1− sin α = 25 − 5 sinα + sin α 2 4 14 0 = ---− ---sin α + 2 sin 2α / : 2 2 5 5 1-2 7- 2 0 = 2 5 − 5 sin α + sin α .

Podstawiamy teraz t = sinα i mamy równanie

t2 − 7-t+ 1-2 = 0 5 2 5 4 9 48 1 Δ = ---− ---= --- 27 5 1 25 25 7 1 5 −-5- 3- -5 +-5 4- t = 2 = 5 ∨ t = 2 = 5.

Zatem sin α = 35 lub sin α = 45 .

Sposób VI

Tak samo jak w pierwszym sposobie dochodzimy do równości  12 sinα cos α = 25 . Tym razem jednak skorzystamy ze wzorów na sin2 α i cos 2α .

 24 24 2sin αco sα = --- ⇒ sin 2α = --- 25 ∘ ----25-- ∘ ---- ∘ -------2-- 576- -49- -7- cos 2α = ± 1− sin α = ± 1− 625 = ± 625 = ± 25 .

Zauważmy, że wprawdzie α jest kątem ostrym, ale 2α już ostry być nie musi – dlatego właśnie nie możemy założyć, że cos 2α > 0 . Mając obliczony cos2α , możemy obliczyć sin α ze wzoru

 2 cos2α = 1− 2sin α 2 sin 2α = 1 − co s2α ∘ ----------- 1-−-cos-2α sin α = 2 .

(α jest kątem ostrym więc nie ma wątpliwości ze znakiem pierwiastka). W zależności od znaku cos 2α mamy więc

 ∘ ------- 7- ∘ --- sinα = 1-−--25-= 9--= 3- 2 25 5

lub

 ∘ ------- 1 + -7 ∘ 16- 4 sin α = ----25-= ---= --. 2 25 5

 
Odpowiedź: 0,6 i 0,8

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!