Rozpoczynamy od rysunku.
Sposób I
Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym to połowa przeciwprostokątnej (bo jest ona średnicą okręgu opisanego). Zatem . Promień okręgu wpisanego wyliczamy ze wzoru na pole.
Mamy zatem
Podzielimy teraz licznik i mianownik przez , tak aby móc skorzystać z równości
i
.
Podstawiając teraz mamy
Liczymy
Stąd lub
, czyli
lub
.
Sposób II
Tym razem dorysujmy okrąg wpisany w trójkąt i połączmy jego środek z punktami styczności z bokami trójkąta. Ponieważ przeciwprostokątna trójkąta jest dwa razy dłuższa od promienia okręgu opisanego, mamy
Zatem
Podnosząc tę równość do kwadratu i stosując twierdzenie Pitagorasa, mamy
Mamy zatem układ równań
Możemy go rozwiązać, ale tak naprawdę nie potrzebujemy wartości i
, ale sinusy, czyli liczby
i
. Dzielimy zatem pierwsze równanie przez równość
, a drugie przez
i mamy układ
Na mocy wzorów Viète’a oznacza to, że szukane sinusy są pierwiastkami równania kwadratowego
Sposób III
Tak jak poprzednio dorysowujemy okrąg wpisany w trójkąt i łączymy jego środek z jego punktami styczności z bokami trójkąta. Oznaczmy długość odcinka łączącego środek przeciwprostokątnej z punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną przez . Wiemy, że
, zatem przyprostokątne mają odpowiednio długości
Pozostało teraz napisać twierdzenie Pitagorasa.
Zatem szukane sinusy to
Odpowiedź: 0,6 i 0,8