Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8759638

Punkt M jest środkiem boku AD . Udowodnij, że pole trójkąta CMB jest połową pola trapezu ABCD (AB ∥ DC ).


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.


PIC


Oznaczmy długości podstaw trapezu przez AB = a, CD = b , a długość wysokości przez h .

Sposób I

Zamiast obliczać pole trójkąta BMC , obliczmy pola trójkątów CDM i BAM . Wysokość w każdym z tych trójkątów jest równa połowie wysokości trapezu. Zatem

 1 h 1 h 1 (a + b)h 1 PCDM + PBAM = --b⋅ -+ --⋅a ⋅--= --⋅---------= -PABCD . 2 2 2 2 2 2 2

To oznacza, że

PBMC = PABCD − PCDM − PBAM = PABCD − 1-PABCD = 1PABCD . 2 2

Sposób II

Niech N będzie środkiem ramienia BC . Jak wiadomo odcinek MN jest równoległy do podstaw trapezu i ma długość a+b- 2 . Ponadto, wysokość w każdym z trójkątów CMN i NMB jest równa h2 . Zatem

 1- h- 1- h- PBMC = PCMN + PNMB = 2 ⋅MN ⋅2 + 2 ⋅MN ⋅ 2 = 1 1 (a + b)h 1 = --⋅MN ⋅h = --⋅---------= -PABCD . 2 2 2 2
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!