/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Pole

Zadanie nr 8666271

Dany jest trójkąt ABC . Na boku AB tego trójkąta obrano punkty D ,E i F tak, że |AD | = |DE | = |EF| = 2|F B| . Na bokach AC i BC obrano – odpowiednio – punkty G i H tak, że DG ∥ EC oraz FH ∥ EC (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta F BH jest równe S , to pole trójkąta ADG jest równe 3S .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wysokość opuszczona z wierzchołka C w trójkącie ABC jest jednocześnie wysokością w każdym z trójkątów: AEC i BEC .

PIC

To oznacza, że

1 PAEC--= -2AE--⋅h = AE--= ---2EF--- = 4FB--= 4-. PBEC 1BE ⋅ h BE EF + F B 3FB 3 2

Trójkąty ADG i BF H są podobne odpowiednio do trójkątów AEC i BEC . Skale tych podobieństw to odpowiednio AD- 1 AE = 2 i BF- 1 BE = 3 . Mamy zatem

1 PADG--= 4PAEC--= 9-⋅ 4-= 3. PBFH 1PBEC 4 3 9

Stąd

PADG = 3PBFH = 3S .
Wersja PDF