/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Długości odcinków

Zadanie nr 9487951

W trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość c , długość boku BC jest równa a oraz |∡ABC | = β . Dwusieczna kąta ABC przecina bok AC trójkąta w punkcie E . Wykaż, że długość odcinka BE jest równa 2ac⋅cos β --a+c-2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Sposób I

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z sinusem.

PABC = PABE + PCBE / ⋅2 β- β- acsinβ = xc sin 2 + xasin 2 2ac sin β-co s β-= x(a + c) sin β / : (a + c) sin β 2 2 2 2 2ac cos β -------2-= x. a+ c

Sposób II

Tym razem skorzystamy z twierdzenia o dwusiecznej

AE-- c- EC = a

oraz twierdzenia cosinusów

AE 2 = x2 + c2 − 2xcco s β 2 2 2 2 β EC = x + a − 2xa cos-2.

Mamy zatem

c2 AE 2 x 2 + c2 − 2xc cos β -2 = ---2-= ------------------2β a EC x2 + a2 − 2xa cos 2- β β c2x 2 + c2a2 − 2xac 2cos--= a 2x2 + a2c2 − 2xca 2cos-- 2 2 x 2(c2 − a2) = 2xac (c− a)cos β-. 2

Jeżeli a ⁄= c to dzielimy obie strony przez x(c2 − a2) i mamy

β β 2ac(c-−-a)co-s2- 2ac-cos-2- x = (c− a)(c+ a ) = c+ a .

Jeżeli natomiast a = c to trójkąt jest równoramienny i BE jest jego wysokością. Wtedy

β- x-= c os β ⇒ x = acos β-= 2acco-s2-. a 2 2 c+ a

Zauważmy, że obu rozwiązaniach nie miało znaczenia to, że trójkąt jest ostrokątny.

Wersja PDF