Zadanie nr 2355016
Trójkąt jest ostrokątny oraz
. Dwusieczna
kąta
przecina bok
w punkcie
. Punkt
jest obrazem punktu
w symetrii osiowej względem dwusiecznej
kąta
, punkt
jest obrazem punktu
w symetrii osiowej względem dwusiecznej
kąta
, a punkt
jest obrazem punktu
w symetrii osiowej względem dwusiecznej
kąta
(zobacz rysunek).
Udowodnij, że na czworokącie można opisać okrąg.
Rozwiązanie
Dorysujmy dwusieczne i
.
W każdym z trójkątów ,
i
dwusieczna pokrywa się z wysokością, więc są to trójkąty równoramienne (każdy z nich ma oś symetrii). Jeżeli więc oznaczymy
,
i
, to
![180 ∘ − α ∘ α ∡ALK = --------- = 90 − -- 2∘ 2 ∡CLM = 180--−-γ-= 90∘ − γ- 2 2 180-∘ −-β ∘ β- ∡BNM = 2 = 90 − 2.](https://img.zadania.info/zad/2355016/HzadR9x.gif)
Stąd
![( ) ( ) ∡KLM = 180∘ − ∡ALK − ∡CLM = 18 0∘ − 90∘ − α- − 90∘ − γ- = α-+-γ- ( ) 2 2 2 ∘ ∘ ∘ β ∘ β ∡MNK = 180 − ∡BNM = 1 80 − 9 0 − -- = 90 + -- 2 2 α+--β-+-γ- ∘ 180-∘ ∘ ∘ ∡KLM + ∡MNK = 2 + 9 0 = 2 + 90 = 180 .](https://img.zadania.info/zad/2355016/HzadR10x.gif)
To oznacza, że rzeczywiście na czworokącie można opisać okrąg.