Zadanie nr 7007519
W trójkącie prostokątnym przyprostokątna
ma długość 5, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 2. Oblicz pole trójkąta
.
Rozwiązanie
Szkicujemy trójkąt prostokątny.
Korzystamy ze wzoru
![r = a+--b−-c- 2](https://img.zadania.info/zad/7007519/HzadR1x.gif)
na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości
i
oraz przeciwprostokątnej długości
. Jeżeli oznaczymy
, to mamy
![2 = r = a-+-5-−-c ⇒ 4 = a− c+ 5 ⇒ c− a = 1. 2](https://img.zadania.info/zad/7007519/HzadR7x.gif)
Ponadto, na mocy twierdzenia Pitagorasa
![2 5 = b2 = c2 − a2 = (c − a)(c+ a) = c+ a.](https://img.zadania.info/zad/7007519/HzadR8x.gif)
Mamy zatem
![{ c − a = 1 c + a = 25 .](https://img.zadania.info/zad/7007519/HzadR9x.gif)
Jeżeli teraz odejmiemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić ), to mamy
![2a = 24 ⇒ a = 12.](https://img.zadania.info/zad/7007519/HzadR11x.gif)
Pole trójkąta jest więc równe
![1 1 P = -ab = --⋅5⋅ 12 = 30. 2 2](https://img.zadania.info/zad/7007519/HzadR13x.gif)
Odpowiedź: 30