/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Styczne do okręgu

Zadanie nr 5327022

Wyznacz równania prostych stycznych do okręgu o równaniu x 2 + y2 − 2x + 6y − 6 = 0 i zarazem prostopadłych do prostej x − 2y + 3 = 0 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształćmy najpierw równanie danego okręgu, tak aby ustalić jaki ma środek i promień

2 2 x + y − 2x + 6y − 6 = 0 (x2 − 2x + 1 )+ (y 2 + 6y + 9 )− 1 − 9 − 6 = 0 (x − 1)2 + (y + 3)2 = 4 2.

Jest to zatem okrąg o środku S = (1,− 3) i promieniu 4. Możemy zrobić schematyczny rysunek.

PIC

Szukane styczne mają być prostopadłe do danej prostej y = 12x+ 32 , są zatem postaci y = − 2x + b . Jest wiele różnych sposobów wyznaczenia współczynnika b , my pokażemy dwa z nich.

Sposób I

Skorzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x ,y ) 0 0 od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax + By + C| ---0√------0-----. A 2 + B 2

W naszej sytuacji chcemy aby punkt S = (1,− 3) był w odległości 4 od prostej y + 2x − b = 0 . Prowadzi to do równania

√ -- |-−-3√-+-2-−-b| = 4 /⋅ 5 1+ 4 √ -- |1 + b| = 4 √5-- √ -- 1 + b = −4 5 lub 1+ b = 4 5 √ -- √ -- b = −1 − 4 5 lub b = − 1+ 4 5.

Są więc dwie styczne spełniające warunki zadania:

√ -- √ -- y = − 2x − 1 − 4 5 lub y = − 2x − 1 + 4 5.

Sposób II

Szukane proste mają mieć jeden punkt wspólny z danym okręgiem, tzn. układ równań

{ y = − 2x + b 2 2 x + y − 2x + 6y − 6 = 0

ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie. Układ ten sprowadza się do równania

x2 + (− 2x + b)2 − 2x + 6(− 2x + b) − 6 = 0 2 2 2 x + 4x − 4xb + b − 2x − 12x + 6b− 6 = 0 5x2 − (4b + 14)x + (b2 + 6b − 6) = 0 .

Ponieważ równanie to ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie, to Δ = 0 , czyli

2 2 (4b + 14 ) − 20 (b + 6b − 6 ) = 0 / : 4 (2b + 7)2 − 5(b2 + 6b − 6) = 0 4b2 + 28b + 4 9− 5b2 − 30b+ 30 = 0 2 − b − 2b + 79 = 0 .

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

b 2 + 2b − 7 9 = 0 √ -- Δ = 42 + 4 ⋅79 = 32 0 = (8 5)2 √ -- √ -- √ -- √ -- b = −-2−--8--5-= −1 − 4 5 lub b = −-2-+-8--5-= − 1+ 4 5. 2 2

Są więc dwie styczne spełniające warunki zadania:

√ -- √ -- y = − 2x − 1 − 4 5 lub y = − 2x − 1 + 4 5.

Jeszcze inny, naturalny sposób wyznaczenia b , to wyznaczenie punktów styczności szukanych stycznych z okręgiem (poprzez przecięcie okręgu z prostą równoległą do x − 2y + 3 = 0 i przechodzącą przez S ).  
Odpowiedź: √ -- y = − 2x− 1− 4 5 i √ -- y = − 2x− 1+ 4 5

Wersja PDF
Rozwiązanie Losuj ponownie