Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Jeżeli zapiszemy równanie okręgu w postaci
to widać, że mamy do czynienia z okręgiem o środku i promieniu
.
Sposób I
Jeżeli oznaczymy przez i
punkty styczności stycznych poprowadzonych z punktu
do okręgu, to
Ponadto
Zatem
czyli . to oznacza, że
.
Sposób II
Tym razem użyjemy odrobinę więcej geometrii analitycznej i wyliczymy równania stycznych.
Proste przechodzące przez punkt mają postać
(tak naprawdę brakuje w tym pęku pionowej prostej
, ale łatwo sprawdzić, że nie jest ona szukaną styczną). Sprawdźmy, kiedy prosta tej postaci jest styczna do okręgu: wstawiamy do równania okręgu
i sprawdzamy, kiedy otrzymane równanie kwadratowe ma dokładnie jeden pierwiastek.
Zatem styczne do okręgu przechodzące przez punkt mają postać
i
. Teraz wystarczy zauważyć, że iloczyn współczynników kierunkowych tych prostych jest równy -1, więc proste te są prostopadłe.
Sposób III
Tak jak w poprzednim sposobie szukamy prostej przechodzącej przez punkt w postaci
Prosta te będzie styczna do danego okręgu jeżeli odległość środka tego okręgu od tej prostej będzie równa
. Na mocy wzoru na odległość punktu od prostej mamy więc równanie
Teraz wystarczy zauważyć, że iloczyn współczynników kierunkowych otrzymanych prostych jest równy -1, więc proste te są prostopadłe.
Na koniec obrazek dla ciekawskich.
Odpowiedź: