Zadanie nr 4835224

Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu 2 2 x + y + 2x − 2y − 3 = 0 poprowadzonymi przez punkt A = (2,0) .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Jeżeli zapiszemy równanie okręgu w postaci

(x + 1 )2 + (y − 1)2 = 5

to widać, że mamy do czynienia z okręgiem o środku S = (− 1,1) i promieniu -- r = √ 5 .

Sposób I

Jeżeli oznaczymy przez i punkty styczności stycznych poprowadzonych z punktu do okręgu, to

√ -- SB = SC = r = 5.

Ponadto

∘ ------------------- 2 2 √ --- SA = (2+ 1) + (0− 1) = 10.

Zatem

√ -- √ -- BS-- ---5- -1-- --2- sin α = SA = √ 10-= √ 2-= 2 ,

czyli ∘ α = 45 . to oznacza, że ∘ ∡A = 2α = 90 .

Sposób II

Tym razem użyjemy odrobinę więcej geometrii analitycznej i wyliczymy równania stycznych.

Proste przechodzące przez punkt A = (2,0) mają postać y = m (x− 2) (tak naprawdę brakuje w tym pęku pionowej prostej x = 2 , ale łatwo sprawdzić, że nie jest ona szukaną styczną). Sprawdźmy, kiedy prosta tej postaci jest styczna do okręgu: wstawiamy do równania okręgu y = m (x − 2) i sprawdzamy, kiedy otrzymane równanie kwadratowe ma dokładnie jeden pierwiastek.

x2 + (m (x − 2))2 + 2x − 2(m (x − 2)) − 3 = 0 x2 + m 2(x2 − 4x + 4) + 2x − 2mx + 4m − 3 = 0 2 2 2 2 x (m + 1)+ x(2 − 4m − 2m )+ 4m + 4m − 3 0 = Δ = (2 − 4m 2 − 2m )2 − 4(m 2 + 1)(4m 2 + 4m − 3) / : 4 2 2 2 2 0 = (1 − 2m − m ) − (m + 1)(4m + 4m − 3) 0 = 1 + 4m 4 + m 2 − 4m 2 − 2m + 4m 3 − 4m 4 − 4m 3 + 3m 2 − 4m 2 − 4m + 3 0 = 1 + m 2 − 4m 2 − 2m + 3m 2 − 4m 2 − 4m + 3 2 0 = − 4m − 6m + 4 / : 2 2m 2 + 3m − 2 = 0 Δ = 9 + 16 = 25 − 3 − 5 − 3 + 5 1 m = ---4--- = − 2 ∨ m = ---4--- = 2.

Zatem styczne do okręgu przechodzące przez punkt mają postać y = − 2(x− 2) i y = 12 (x− 2) . Teraz wystarczy zauważyć, że iloczyn współczynników kierunkowych tych prostych jest równy -1, więc proste te są prostopadłe.

Sposób III

Tak jak w poprzednim sposobie szukamy prostej przechodzącej przez punkt w postaci

y = m (x − 2) y − mx + 2m = 0.

Prosta te będzie styczna do danego okręgu jeżeli odległość środka tego okręgu od tej prostej będzie równa √ -- r = 5 . Na mocy wzoru na odległość punktu od prostej mamy więc równanie