/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Styczne do okręgu

Zadanie nr 8802966

Wyznacz równania stycznych do okręgu  2 2 x + y + 12x + 4y + 3 6 = 0 , przechodzących przez początek układu współrzędnych.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Aby narysować opisaną sytuację, przekształćmy podane równanie okręgu tak, aby było widać jaki jest jego środek i promień.

 2 2 (x + 12x )+ (y + 4y )+ 3 6 = 0 (x2 + 12x + 3 6)+ (y 2 + 4y + 4)− 4 = 0 (x + 6)2 + (y + 2)2 = 22.

Jest to więc okrąg o środku (− 6,− 2) i promieniu r = 2 .


PIC


Sposób I

Proste przechodzące przez początek układu współrzędnych są postaci y = ax dla pewnego a (tak naprawdę jest jeszcze pionowa prosta x = 0 , która nie jest tej postaci, ale widać, że ona nie jest styczną). Sprawdźmy kiedy prosta y = ax ma dokładnie jeden punkt wspólny z podanym okręgiem (podstawiamy y = ax do równania okręgu).

 2 2 x + y + 12x + 4y + 36 = 0 x2 + (ax)2 + 12x + 4(ax )+ 3 6 = 0 2 2 2 x + a x + 12x + 4ax + 3 6 = 0 (a2 + 1)x2 + 4(3+ a)x + 36 = 0 / : 4 a2 +-1 2 4 x + (3 + a)x + 9 = 0.

Skoro otrzymane równanie kwadratowe ma mieć dokładnie jeden pierwiastek, to jego Δ musi być równa 0 (spodziewając się tego podzieliliśmy równanie stronami przez 4, żeby otrzymać prostszą Δ -ę).

 2 2 0 = Δ = (3+ a) − 9(a + 1) 0 = 9+ 6a+ a2 − 9a2 − 9 2 8a (− 6a =) 0 3 8a a− -- = 0 4 3- a = 0 ∨ a = 4.

Sposób II

Tym razem użyjemy odrobinę więcej geometrii. Z obrazka widać, że jedną z szukanych stycznych jest prosta y = 0 – łatwo to sprawdzić, okrąg ma środek (− 6,− 2) i promień r = 2 , więc jest styczny do tej prostej. To oznacza, że znamy odległość początku układu współrzędnych od interesujących nas punktów styczności: OB = 6 (gdybyśmy nie zauważyli styczności y = 0 i okręgu, moglibyśmy wyliczyć OB z trójkąta prostokątnego OSB ).

Zatem punkty styczności A i B są punktami wspólnymi danego okręgu i okręgu x2 + y2 = 62 (o środku w (0,0) i promieniu 6). Mamy więc układ równań

{ 2 2 x + y + 12x + 4y + 36 = 0 x2 + y2 = 36

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić kwadraty) i mamy

1 2x+ 4y + 36 = − 36 1 2x = − 4y − 72 1 x = − -y − 6. 3

Podstawiamy to do równania drugiego okręgu i mamy

( 1 ) 2 --y+ 6 + y2 = 36 3 1- 2 2 9 y + 4y + 36+ y = 36 10 ---y2 + 4y = 0 9( ) 1-0 y 9 y + 4 = 0 y = 0 ∨ y = − 36-= − 18. 10 5

Pierwsza wartość y daje znany już nam punkt B , więc zajmijmy się drugą. Mamy wtedy

x = − 1-y− 6 = 1-⋅ 1-8− 6 = 6-−-30-= − 24-. 3 3 5 5 5

Zatem  ( 24 18) A = − -5 ,− 5- i pozostało ustalić dla jakiego a prosta y = ax przechodzi przez ten punkt. Mamy

 18 24 18 3 − ---= − --a ⇐ ⇒ a = ---= --. 5 5 24 4

Sposób III

Tym razem tak jak w pierwszym sposobie szukamy stycznej w postaci y = ax , ale zamiast przecinać ją z okręgiem sprawdźmy, kiedy jest ona odległa od środka okręgu (− 6,− 2) o długość promienia r = 2 . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0-+-By-0 +-C|- √ --2----2- . A + B

W naszej sytuacji (dla prostej ax − y = 0 ) otrzymujemy równanie

 |− 6a + 2| -√--2------= 2 a + 1 ∘ ------ |6a − 2| = 2 a2 + 1 / ()2 2 2 (6a − 2) = 4a + 4 3 6a2 − 24a+ 4 = 4a2 + 4 3 2a2 − 24a = 0 ( ) 3 2a a − 3- = 0 4 3 a = 0 ∨ a = -. 4

 
Odpowiedź: y = 0 i  3 y = 4x

Wersja PDF
spinner