/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij...

Zadanie nr 6391981

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność

5x2 + y2 − 4xy + 6x + 9 ≥ 0.

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

2 2 5x + y − 4xy + 6x + 9 ≥ 0 4x 2 − 4xy + y2 + x2 + 6x + 9 ≥ 0 2 2 (2x − y) + (x + 3) ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Sposób II

Potraktujmy nierówność

5x2 + (6− 4y) ⋅x+ (y2 + 9) ≥ 0

jak nierówność kwadratową zmiennej x z parametrem y . Współczynnik przy x2 jest dodatni, więc wykresem lewej strony nierówności (dla ustalonego y –ka) jest parabola o ramionach skierowanych w górę. Ponadto

2 2 2 2 Δx = (6 − 4y ) − 2 0(y + 9) = 36 − 48y + 16y − 20y − 180 = − 4y 2 − 4 8y− 144 = − 4(y 2 + 12y + 36) = − 4(y + 6)2 ≤ 0,

więc parabola ta znajduje się w całości powyżej osi Ox . To oznacza, że powyższa nierówność jest spełniona dla wszystkich możliwych wartości x i y .

Wersja PDF