/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2012

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 14 kwietnia 2012 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność |x| |x− 2| |x− 1| -x-+ x−-2-< 1 + x−-1- .

Zadanie 2
(4 pkt)

W półkole o promieniu r wpisano trapez równoramienny o krótszej podstawie długości a . Oblicz długość przekątnej trapezu.

PIC

Zadanie 3
(5 pkt)

Uzasadnij, że dla każdej liczby dodatniej a prawdziwa jest nierówność 3 3 a + a ≥ 4 .

Zadanie 4
(4 pkt)

Długości boków (a,b,c) trójkąta tworzą ciąg geometryczny, przy czym kąt trójkąta leżący naprzeciwko boku długości b ma miarę 60 ∘ . Oblicz miary pozostałych kątów tego trójkąta.

Zadanie 5
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru k , dla których równanie 5x2 − kx + 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki, których różnica jest liczbą z przedziału (0,1) .

Zadanie 6
(4 pkt)

Wykaż, że jeżeli w czworokącie ABCD dwusieczne kątów przy wierzchołkach A i C przecinają dwusieczne kątów przy wierzchołkach B i D w czterech różnych punktach, to punkty te leżą na pewnym okręgu.

Zadanie 7
(5 pkt)

Punkt A = (3 ,4 ) jest wierzchołkiem kąta prostego w równoramiennym trójkącie prostokątnym ABC . Przeciwprostokątna tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu y = − 2x+ 15 . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta ABC .

Zadanie 8
(5 pkt)

Wielomian W (x) = x4 + ax3 + bx2 − x + b przy dzieleniu przez każdy z dwumianów: x + 1 , x − 2 i x + 3 daję tę samą resztę. Wyznacz a i b .

Zadanie 9
(4 pkt)

Udowodnij, że jeżeli cosα ⁄= sin 7α i cos4 α ⁄= sin4 α to

sin-α-+-co-s7α- sin4α-+-co-s4α- cosα − sin 7α = cos 4α− sin 4α .

Zadanie 10
(6 pkt)

Listonosz losowo rozmieszcza 7 listów w 5 różnych skrzynkach na listy. Oblicz prawdopodobieństwo, że w każdej skrzynce znajdzie się przynajmniej jeden list.

Zadanie 11
(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt ABC . Punkty E i F są rzutami punktów A i S na przeciwległe ściany. Oblicz w jakim stosunku odcinek AE dzieli odcinek SF , jeżeli ściana boczna ostrosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem, którego sinus jest równy a .

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania