/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Udowodnij...

Zadanie nr 4957490

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że jeśli α,β są kątami ostrymi trójkąta prostokątnego, to tg α + tgβ ≥ 2 .

Rozwiązanie

Sposób I

W trójkącie prostokątnym ∘ β = 90 − α , więc

tg α + tgβ = tgα + tg(9 0∘ − α) = tgα + ctg α = sin-α co-sα sin2α-+-cos2-α- = cos α + sin α = sinα cos α = 1 2 2 = ---------- = ------------= ------. sin αcos α 2sin αco sα sin 2α

Zauważmy teraz, że jeżeli π- α ∈ (0,2 ) to 2α ∈ (0,π ) . Zatem

0 < sin 2α ≤ 1.

Mamy stąd

2 2 tg α+ tgβ = ------ ≥ --= 2. sin2α 1

Sposób II

Narysujmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b .

PIC

Przy tych oznaczeniach mamy

a- b- a-2 +-b2 tg α + tg β = b + a = ab .

Pozostało więc wykazać, że

a2 +-b-2 ab ≥ 2 / ⋅ab 2 2 a + b ≥ 2ab (a − b)2 ≥ 0 .

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Wersja PDF