Zadanie nr 4957490
Wykaż, że jeśli są kątami ostrymi trójkąta prostokątnego, to
.
Rozwiązanie
Sposób I
W trójkącie prostokątnym , więc
![tg α + tgβ = tgα + tg(9 0∘ − α) = tgα + ctg α = sin-α co-sα sin2α-+-cos2-α- = cos α + sin α = sinα cos α = 1 2 2 = ---------- = ------------= ------. sin αcos α 2sin αco sα sin 2α](https://img.zadania.info/zad/4957490/HzadR1x.gif)
Zauważmy teraz, że jeżeli to
. Zatem
![0 < sin 2α ≤ 1.](https://img.zadania.info/zad/4957490/HzadR4x.gif)
Mamy stąd
![2 2 tg α+ tgβ = ------ ≥ --= 2. sin2α 1](https://img.zadania.info/zad/4957490/HzadR5x.gif)
Sposób II
Narysujmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych i
.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/4957490/HzadR8x.gif)
Przy tych oznaczeniach mamy
![a- b- a-2 +-b2 tg α + tg β = b + a = ab .](https://img.zadania.info/zad/4957490/HzadR9x.gif)
Pozostało więc wykazać, że
![a2 +-b-2 ab ≥ 2 / ⋅ab 2 2 a + b ≥ 2ab (a − b)2 ≥ 0 .](https://img.zadania.info/zad/4957490/HzadR10x.gif)
Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.