/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Prostokąt/Udowodnij

Zadanie nr 7280492

W prostokąt ABCD wpisany jest trójkąt równoboczny AKL (patrz rysunek). Wierzchołek leży na boku ( K ⁄= B i K ⁄= C ), wierzchołek leży na boku ( L ⁄= D i L ⁄= C ). Udowodnij, że pole powierzchni trójkąta KLC równe jest sumie pól trójkątów ABK i DLA .

Rozwiązanie

Oznaczmy AK = KL = LA = a i ∡BAK = α .

Mamy wtedy

∘ ∘ ∡DAL = 90 − α− 60 = 30 − α ∡LKC = 180∘ − 60∘ − (90∘ − α) = 3 0+ α.

Spróbujemy teraz obliczyć pola wszystkich trzech trójkątów z treści zadania w zależności od i (powinno być jasne, że te dwa parametry jednoznacznie wyznaczają długości pozostałych odcinków na rysunku). Najpierw trójkąt ABK .

AB--= co sα ⇒ AB = aco sα a 1 1 2 a2 PABK = -AK ⋅AB ⋅sinα = --⋅a co sα sin α = --sin 2α. 2 2 4

Teraz trójkąt DLA .

AD-- ∘ ∘ a = co s(30 − α) ⇒ AD = a cos(30 − α) 1 PDLA = -AL ⋅AD ⋅sin(30∘ − α ) = 2 1-2 ∘ ∘ a2- ∘ = 2a cos(30 − α)sin(3 0 − α) = 4 sin (60 − 2α).

Analogicznie liczymy pole trójkąta KLC .

KC ----= co s(3 0∘ + α) ⇒ KC = a cos(30∘ + α) a P = 1KL ⋅KC ⋅sin(30 ∘ + α ) = KLC 2 1 a2 = -a2co s(30∘ + α)sin(30∘ + α ) = ---sin (60∘ + 2α). 2 4

Mamy zatem

a2 a2 a2 PABK + PDLA = ---sin2α + --sin(6 0∘ − 2 α) =---[sin 2α + sin(60∘ − 2α )] = 42 4 ∘ 4 ∘ a-- 2α-+--60-−--2α 2-α−--(60-−--2α) = 4 ⋅2 sin 2 cos 2 = a2 a2 1 = ---⋅2 sin 30∘ cos(2α − 30∘ ) = ---⋅2⋅ --cos(30∘ − 2α) = 4 4 2 a2- ∘ ∘ a2- ∘ = 4 cos (90 − (60 + 2α)) = 4 sin(60 + 2α ) = PKLC .

Rozwiązanie Losuj ponownie