/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Dowolny/Romb w podstawie

Zadanie nr 6008958

Dany jest graniastosłup czworokątny prosty ABCDEF GH o podstawach ABCD i EF GH oraz krawędziach bocznych AE , BF , CG , DH . Podstawa ABCD graniastosłupa jest rombem o boku długości 8 cm i kątach ostrych A i C o mierze 60 ∘ . Przekątna graniastosłupa CE jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem ∘ 6 0 . Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymienione w zadaniu kąty. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

PIC

Aby obliczyć objętość graniastosłupa, potrzebujemy pole jego podstawy oraz wysokość. Pole podstawy obliczymy ze wzoru na pole rombu, gdy dany jest jego kąt:

√ -- P = 8 ⋅8⋅ sin 60∘ = 3 2 3. ABCD

Wzór ten łatwo wynika ze wzoru na pole trójkąta P = 1ab sin γ Δ 2 , gdzie γ kąt między bokami a i b . Korzystając z tego wzoru możemy również wyliczyć długość odcinka AC :

∘ √ -- PABCD = 2PABC = AB ⋅AC sin30 = 4AC ⇒ AC = 8 3.

Długość odcinka AC mogliśmy też wyliczyć z twierdzenia sinusów zastosowanego do trójkąta ABC .

Aby obliczyć wysokość h , zauważmy, że h AC-= tg6 0∘ , stąd

√ -- h = AC ⋅ 3 = 2 4.

Zatem objętość graniastosłupa wynosi:

√ -- √ -- V = 32 3⋅ 24 = 768 3.

 
Odpowiedź: √ -- V = 768 3 cm 3

Wersja PDF