/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy trójkątny/Pole powierzchni

Zadanie nr 7538750

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa √ -- 2 7 3 . Długość krawędzi AB podstawy ostrosłupa jest równa 6 (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokość ściany bocznej ostrosłupa.

PIC

Korzystając z podanej objętości obliczamy wysokość H ostrosłupa.

2√ -- 27√ 3-= V = 1-⋅ 6--3-⋅H / : 3√ 3- 3 4 H = 9.

Teraz z trójkąta prostokątnego SDO obliczymy wysokość h ściany bocznej. Zanim jednak to zrobimy, obliczmy długość odcinka OD – jest to 1 3 wysokości trójkąta równobocznego w podstawie.

√ -- OD = 1-⋅ 6--3 = √ 3. 3 2

Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie SDO .

∘ ----------- √ ------- √ --- √ --- h = SD = OD 2 + H 2 = 3+ 81 = 84 = 2 21.

Pozostało obliczyć pole powierzchni całkowitej.

√ -- 62--3- 1- √ --- √ -- √ --- Pc = Pp + Pb = 4 + 3 ⋅2 ⋅6 ⋅2 21 = 9 3+ 18 21.

 
Odpowiedź: √ -- √ --- 9 3 + 18 21

Wersja PDF