/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy trójkątny/Kąty

Zadanie nr 9141445

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt ABC . Kąt nachylenia krawędzi bocznej AS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa jest równy kątowi między krawędziami bocznymi AS i BS zawartymi w ścianie bocznej ASB tego ostrosłupa (zob. rysunek). Oblicz kosinus tego kąta.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy szukany kąt przez α , długość krawędzi podstawy prze a , a długość krawędzi bocznej przez b .

PIC

Dość łatwo jest zauważyć, że możemy napisać dwa równania wiążące ze sobą a ,b i α – jedno równanie to twierdzenie cosinusów w trójkącie ABS , a drugie to definicja cosinusa w trójkącie AOS .

a2 = b2 + b2 − 2b2cos α = 2b 2(1 − co sα) √- √ -- AO-- 23 ⋅-a23 a--3- cos α = AS = b = 3b .

Dalsze rozwiązanie przeprowadzimy dwoma sposobami.

Sposób I

Wyliczamy z drugiego równania

√ -- a = 3b√cosα-= 3b cosα 3

i podstawiamy to wyrażenie do pierwszego równania.

√ -- 2 2 2 ( 3bco sα) = 2b (1− cosα) / : b 3co s2α + 2co sα − 2 = 0 Δ = 4+ 2 4 = 28√ -- √ -- √ -- − 2 − 2 7 − 2 + 2 7 7 − 1 cos α = -----------< − 1 ∨ cos α = -----------= --------. 6 6 3

Pierwsze rozwiązanie oczywiście odrzucamy i mamy √- -7−3-1 .

Sposób II

Podstawiamy wyrażenie na cos α z drugiego równania do pierwszego

( √ --) a2 = 2b 2 1 − a--3- / ⋅-3- 3b b 2 ( )2 √ -- ( ) 3 a- = 6 − 2 3 ⋅ a- . b b

Jeżeli teraz podstawimy a t = b , to mamy zwykłe równanie kwadratowe

2 √ -- 3t + 2 3t− 6 = 0 Δ = 12 + 72 = 8 4 = 21 ⋅4 √ -- √ --- √ -- √ --- √ --- √ -- −-2--3-−-2--2-1 −-2--3+--2--21- --21-−---3- t = 6 < 0 ∨ t = 6 = 3 .

Pierwsze rozwiązanie oczywiście odrzucamy i mamy

√ --- √ -- a 21 − 3 t = --= ----------. b 3

Podstawiamy teraz to wyrażenie do wzoru na co sα .

√ -- √ -- √ --- √ -- √ -- a 3 3 21 − 3 7− 1 co sα = -----= ---⋅ -----------= -------. 3b 3 3 3

 
Odpowiedź: √-7−1 3

Wersja PDF