/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny

Zadanie nr 8646682

Suma czterech początkowych wyrazów ciągu (an) określonego dla n ≥ 0 jest równa (−1 2) . Ponadto dla każdej liczby całkowitej n ≥ 0 spełniony jest warunek lo g1 (an − an+1) = − 2 2 . Oblicz nieskończoną sumę

( ) ( ) ( ) 3 a0 3 a1 3 a2 2- + 2- + 2- + ...
Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy, że warunek

log (a − a ) = −2 12 n n+1 ( 1 )− 2 an − an+1 = -- = 4 2 an+1 − an = − 4

oznacza, że ciąg (a ) n jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r = − 4 . Rozszyfrujmy jeszcze podaną sumę czterech pierwszych wyrazów tego ciągu

− 12 = a0 + a1 + a 2 + a3 = a0 + (a0 − 4) + (a0 − 8) + (a0 − 12). − 12 = 4a0 − 24 ⇒ 4a0 = 12 ⇒ a0 = 3.

Musimy więc obliczyć sumę

( )a 0 ( )a 1 ( )a2 ( ) 3 ( )3− 4 ( ) 3− 2⋅4 3- + 3- + 3- + ...= 3- + 3- + 3- + ...= 2 2 2 2 2 2 ( ) 3 [( ) 0 ( ) 4 ( ) 2⋅4 ( ) 3⋅4 ] 3- ⋅ 2- + 2- + 2- + 2- + ... = 2 3 3 3 3 ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] 3- 3 16- 1 16- 2 16- 3 2 ⋅ 1 + 81 + 81 + 81 + ...

W nawiasie otrzymaliśmy sumę szeregu geometrycznego:

( 16) 1 ( 16) 2 ( 16) 3 1 81 1+ --- + --- + --- + ...= -------= --- 81 81 81 1− 1861 65

Cała suma jest więc równa

( ) 3- 3 81- 27- 8-1 21-87 2 ⋅65 = 8 ⋅6 5 = 520 .

 
Odpowiedź: 2187 520

Wersja PDF
Rozwiązanie Losuj ponownie