/Szkoła średnia/Liczby/Liczby całkowite/Podzielność/Bez literek

Zadanie nr 5267589

Wykaż, że liczba 2 4 (1+ 2013 )(1 + 201 3 ) jest dzielnikiem liczby

2 3 4 5 6 7 1 + 2 013+ 2013 + 201 3 + 2 013 + 2013 + 2013 + 2 013 .
Wersja PDF

Rozwiązanie

Dane wyrażenie to suma kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie 2013, więc korzystając ze wzoru n Sn = a1 ⋅ 1−1q−q na sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego mamy

1 + 2013 + 20 132 + 20133 + 20134 + 20 135 + 20136 + 20137 = 1-−-2013-8 20-138 −-1 (20-134)2 −-1 (20-134 −-1)(20134-+-1) = 1 ⋅ 1− 2013 = 2012 = 20 12 = 2 012 = 2 2 4 2 2 4 = ((20-13-)-−--1)(2013--+-1) = (2013--−-1)(201-3-+--1)(2013--+-1)-= 2012 2012 (20 13− 1)(2013 + 1)(20 132 + 1)(20134 + 1) = -------------------------------------------- = 2 20124 = 201 4⋅(20 13 + 1)(2013 + 1)

Widać teraz gołym okiem, że otrzymana liczba dzieli się przez 2 4 (1 + 201 3 )(1+ 2013 ) .

Wersja PDF