Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8091268

Funkcja kwadratowa  2 f(x ) = −x + bx + c ma dwa miejsca zerowe: x1 = − 1 i x2 = 12 . Oblicz największą wartość tej funkcji.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Na mocy wzorów Viète’a mamy

{ b = x1 + x2 = − 1 + 12 = 11 c = −x 1x2 = 12 ,

czyli

f(x ) = −x 2 + 11x + 12.

Ponadto, pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f jest równa

 x1-+-x2- 11- xw = 2 = 2 .

Największa wartość funkcji jest więc równa

 ( ) y = f(x ) = f 11- = − 1-21 + 121-+ 12 = 16-9. w w 2 4 2 4

Sposób II

Podstawiamy podane wartości funkcji do danego wzoru funkcji f i otrzymujemy układ równań

{ 0 = − 1 − b + c 0 = − 14 4+ 1 2b+ c

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić c ) i mamy

0 = − 143+ 13b ⇒ b = 11.

Stąd c = 1 + b = 12 i

f(x) = −x 2 + bx+ c = −x 2 + 11x + 12.

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji jest równa

 -b- 11- xw = − 2a = 2 .

Największa wartość funkcji jest więc równa

 ( ) y = f(x ) = f 11- = − 1-21 + 121-+ 12 = 16-9. w w 2 4 2 4

Sposób III

Wiemy jakie są pierwiastki funkcji kwadratowej oraz znamy współczynnik przy x 2 , więc funkcja f musi mieć wzór

f(x ) = − (x+ 1)(x − 12).

Ponadto, pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f jest równa

 x1 + x2 11 xw = ---2----= 2-.

Największa wartość funkcji jest więc równa

 ( ) ( ) ( ) ( ) 11- 11- 11- 13- 13- 169- yw = f(xw) = f 2 = − 2 + 1 2 − 12 = − 2 ⋅ − 2 = 4 .

 
Odpowiedź:  ( 11) 169 fmax = f 2 = 4

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!