Zadanie nr 5627174
Na przyprostokątnych i
trójkąta prostokątnego równoramiennego
zaznaczono odpowiednio punkty
i
tak, że
. Odcinki
i
przecinają się w punkcie
. Oblicz
.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.
Oznaczmy (
, a nie
, żeby nie mieć ułamków) oraz niech
. Stosując twierdzenie sinusów w trójkącie
mamy
![MB--- MK--- MB-- sinα- sin α = sinβ ⇒ MK = sinβ .](https://img.zadania.info/zad/5627174/HzadR6x.gif)
Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny . Mamy w nim
![AL-- ------2a-------- -2a--- --2-- sin β = BL = ∘ ----2-------2-= √ ---= √ ---. (3a) + (2a) a 13 13](https://img.zadania.info/zad/5627174/HzadR8x.gif)
Podobnie wyliczamy . Patrzymy na trójkąt prostokątny
.
![sin α = sin ∡AKC = CA--= ∘----3a------= -√3a--= √-3--. CK (3a )2 + a2 a 10 10](https://img.zadania.info/zad/5627174/HzadR11x.gif)
Zatem
![√3-- √ --- sinα- = --10 = 3√-13. sinβ √2-- 2 10 13](https://img.zadania.info/zad/5627174/HzadR12x.gif)
Odpowiedź: