/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Zadanie nr 2355016

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz |AC | > |BC | . Dwusieczna dC kąta ACB przecina bok AB w punkcie K . Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osiowej względem dwusiecznej dA kąta BAC , punkt M jest obrazem punktu L w symetrii osiowej względem dwusiecznej d C kąta ACB , a punkt N jest obrazem punktu M w symetrii osiowej względem dwusiecznej dB kąta ABC (zobacz rysunek).

PIC

Udowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.

Rozwiązanie

Dorysujmy dwusieczne dA,dB i dC .

PIC

W każdym z trójkątów AKL , BNM i CLM dwusieczna pokrywa się z wysokością, więc są to trójkąty równoramienne (każdy z nich ma oś symetrii). Jeżeli więc oznaczymy ∡BAC = α , ∡ABC = β i ∡ACB = γ , to

180 ∘ − α ∘ α ∡ALK = --------- = 90 − -- 2∘ 2 ∡CLM = 180--−-γ-= 90∘ − γ- 2 2 180-∘ −-β ∘ β- ∡BNM = 2 = 90 − 2.

Stąd

( ) ( ) ∡KLM = 180∘ − ∡ALK − ∡CLM = 18 0∘ − 90∘ − α- − 90∘ − γ- = α-+-γ- ( ) 2 2 2 ∘ ∘ ∘ β ∘ β ∡MNK = 180 − ∡BNM = 1 80 − 9 0 − -- = 90 + -- 2 2 α+--β-+-γ- ∘ 180-∘ ∘ ∘ ∡KLM + ∡MNK = 2 + 9 0 = 2 + 90 = 180 .

To oznacza, że rzeczywiście na czworokącie KNML można opisać okrąg.

Wersja PDF