/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Zadanie nr 7007519

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trójkącie prostokątnym ACB przyprostokątna AC ma długość 5, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 2. Oblicz pole trójkąta ACB .

Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt prostokątny.

PIC

Korzystamy ze wzoru

r = a+--b−-c- 2

na promień r okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b oraz przeciwprostokątnej długości c . Jeżeli oznaczymy b = 5 , to mamy

2 = r = a-+-5-−-c ⇒ 4 = a− c+ 5 ⇒ c− a = 1. 2

Ponadto, na mocy twierdzenia Pitagorasa

2 5 = b2 = c2 − a2 = (c − a)(c+ a) = c+ a.

Mamy zatem

{ c − a = 1 c + a = 25 .

Jeżeli teraz odejmiemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić c ), to mamy

2a = 24 ⇒ a = 12.

Pole trójkąta ABC jest więc równe

1 1 P = -ab = --⋅5⋅ 12 = 30. 2 2

 
Odpowiedź: 30

Wersja PDF