Zadanie nr 9104689

Wyznacz sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego wiedząc, że stosunek promieni okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkąt jest równy 143 .

Rozwiązanie

Oznaczmy długości przyprostokątnych przez a,b a długość przeciwprostokątnej przez .

Średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest przeciwprostokątna. W szczególności promień okręgu opisanego jest równy R = c2 .

Sposób I

Promień okręgu wpisanego obliczymy ze wzoru na pole:

1 1 -ab = S = --(a+ b+ c)r 2 2 ---ab---- r = a+ b+ c.

Zapiszmy teraz podaną informację o stosunku promieni

c 13- R- --2--- ac-+-bc-+-c2 4 = r = --ab--= 2ab . a+b+c

Ponieważ mamy obliczyć a sin α = c i b sinβ = cos α = c podzielmy licznik i mianownik powyższego ułamka przez .

a b 1-3 -c +-c +-1 sin-α+--cosα-+-1- 2 = a ⋅ b = sin α ⋅cos α c c 1-3 2 sin α⋅ cosα = sin α + cos α+ 1.

Pozostało rozwiązać otrzymane równanie trygonometryczne. Przekształcamy je tak, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

13 ---sin α ⋅cosα − 1 = sinα + co sα / ()2 2 169-sin 2α cos2α − 1 3sinα cos α+ 1 = sin2α + 2 sinα cos α+ cos2α 4 169 2 2 4 -4--sin α cos α = 15sin αco sα /⋅ 169-sin-α-cosα- sinα cos α = -60-. 169

Ponownie podniesiemy równanie do kwadratu, aby móc skorzystać jedynki trygonometrycznej.

-60- 2 sin α cosα = 169 /() 3 600 sin 2α cos2α = ------ 28561 sin 2α(1 − sin2α ) = -3600-. 285 61

Podstawmy teraz t = sin2α .

3600 t2 − t+ ------ = 0 2856 1 ( )2 14400- 1416-1 119- Δ = 1 − 28561 = 2856 1 = 169 119 119 1−--169 -25- 1-+--169- 144- t = 2 = 1 69 ∨ t = 2 = 169 .

Zatem sin α = 153 lub sin α = 1123 . Wtedy odpowiednio sin β = cos α = 1123 i sin β = cosα = 5- 13 .

Sposób II

Wiemy, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dwa razy dłuższa od promienia okręgu opisanego, więc

c 13 13 2-= --- ⇒ c = ---r. r 4 2

Stąd

13- 17- 2 r = c = (a − r) + (b − r) = a + b− 2r ⇒ b = 2 r − a.

Udało nam się więc wyrazić długości wszystkich trójkąta w zależności od i .

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa.

2 2 2 c = a + b 1 69 ( 17 ) 2 28 9 ----r2 = a2 + --r − a = a2 + ----r2 − 17ar+ a2 4 2 4 0 = 2a 2 − 1 7ar+ 30r2.

Traktujemy jak parametr i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

Δ = 289r2 − 240r2 = 49r2 a = 17r-−-7r-= 5r lub a = 17r+--7r-= 6r. 4 2 4

Interesujące nas sinusy kątów ostrych są więc równe

5 sin α = a-= -2r-= -5- lub sin α = a-= 6r--= 12-. c 132 r 13 c 123r 13

Sposób III

Tak jak w poprzednim sposobie dochodzimy do równości

{ 13 c = 2 r a+ b = 172 r.

Podnosimy teraz drugą z tych równości do kwadratu i korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

2 2 289 2 a + b + 2ab = ----r 4 c2 + 2ab = 289-r2 4 169-2 289-2 2 4 r + 2ab = 4 r ⇒ ab = 15r .

Mamy zatem układ równań

{ a + b = 17r 22 ab = 1 5r

Możemy go rozwiązać, ale tak naprawdę nie potrzebujemy wartości i , ale sinusy, czyli liczby a c i b c . Dzielimy zatem pierwsze równanie przez równość 13 c = 2 r , a drugie przez 2 169 2 c = 4 r i mamy układ

{ a b 17 c + c = 13 ac ⋅ bc = 61069.

Na mocy wzorów Viète’a oznacza to, że szukane sinusy są pierwiastkami równania kwadratowego

x2 − 1-7x + -60- = 0 1 3 169 289 240 4 9 Δ = 169-− 169-= 169- 17 7- 17 -7 x = 13 −-13-= 5-- ∨ x = 13-+-13-= 12. 2 13 2 13

Sposób IV

Oznaczmy długość odcinka łączącego środek przeciwprostokątnej z punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną przez .

Wiemy, że 13 R = -4 r , zatem przyprostokątne mają odpowiednio długości

17 r+ R + x = ---r+ x 4 17- r+ R − x = 4 r− x.

Pozostało teraz napisać twierdzenie Pitagorasa.

( ) 2 ( ) 2 17r + x + 17r − x = (2R )2 = 16-9r2 4 4 4 289 17 289 17 169 ---r2 + ---rx + x2 + ----r2 − --rx + x2 = ---r2 16 2 16 2 4 2x2 = 16-9r2 − 578-r2 = 338-−-289-r2 = 49-r2 4 1 6 8 8 7- x = 4 r.

Zatem szukane sinusy to

147r+ x 244r 12 --------= 26--= --- 2R 4 r 13 17r− x 10r 5 4-------= 426--= ---. 2R 4 r 13

Sposób V

Tym razem skorzystamy ze wzoru

a+--b−-c- r = 2

na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. Mamy więc

c 13-= R-= ---2-- = ---c-----. 4 r a+b-−c a+ b − c 2

Aby otrzymać sinusy kątów ostrych dzielimy licznik i mianownik ułamka z prawej strony przez .

1 3 1 1 --- = -a---b---- = ----------------- 4 c + c − 1 sin α+ cosα − 1 4 17 sin α + cos α = 1 + ---= ---. 13 13

Podniesiemy teraz tę równość do kwadratu, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

17 cosα = ---− sin α / ()2 13 cos2α = 289-− 34sin α+ sin 2α 169 13 2 289- 34- 2 1 − sin α = 169 − 13 sin α + sin α 120 3 4 0 = ----− ---sin α+ 2sin2 α / : 2 169 1 3 6-0- 1-7 2 0 = 169 − 1 3 sin α+ sin α.

Podstawiamy teraz t = sinα i mamy równanie

1 7 60 t2 − ---t+ ----= 0 1 3 169 Δ = 289-− 24-0 = -49- 169 16 9 1 69 17− 7- 5 17+ 7- 12 t = 13---13-= --- ∨ t = -13---13= ---. 2 13 2 13

Zatem -5 sin α = 13 lub 12 sin α = 13 . Wtedy odpowiednio 12 sin β = cos α = 13 i sin β = cosα = 513 .

Sposób VI

Tak samo jak w pierwszym sposobie dochodzimy do równości -60 sinα cos α = 169 . Tym razem jednak skorzystamy ze wzorów na sin2 α i cos 2α .

120 2sin αco sα = ---- 169 1-20 sin 2α = 1 69 ∘ ---------- ∘ ----------- ∘ ------- co s2α = ± 1− sin 2α = ± 1− 14400-= ± 1-4161 = ± 119. 28561 2 8561 169

Zauważmy, że wprawdzie jest kątem ostrym, ale już ostry być nie musi – dlatego właśnie nie możemy założyć, że cos 2α > 0 . Mając obliczony cos2α , możemy obliczyć sin α ze wzoru