/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 7031570

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W czworokąt ABCD , w którym √ -- |AD | = 5 3 i |CD | = 6 , można wpisać okrąg. Przekątna BD tworzy z bokiem AB czworokąta kąt o mierze 60 ∘ , natomiast z bokiem AD tworzy kąt, którego sinus jest równy 34 . Wyznacz długości boków AB i BC oraz długość przekątnej BD tego czworokąta.

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Długość boku AB obliczamy pisząc twierdzenie sinusów w trójkącie ABD .

-AB-- = -AD---- sin α sin-60∘ 5√ 3 3 3 15 AB = -√---⋅--= 10 ⋅--= --. -32- 4 4 2

Teraz korzystamy z informacji o tym, że w czworokąt można wpisać okrąg – pozwoli to nam obliczyć długość boku BC .

AB + CD = AD + BC √ -- √ -- 15-+ 6 = 5 3+ BC ⇒ BC = 27-− 5 3. 2 2

Długość przekątnej BD obliczymy pisząc twierdzenie cosinusów w trójkącie ABD .

2 2 2 ∘ AD = AB + BD − 2AB ⋅BD co s60 22 5 15 75 = ----+ BD 2 − ---BD 4 2 BD 2 − 15BD − 75-= 0 / ⋅4 2 4 4BD 2 − 30BD − 75 = 0.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

√ --- Δ = 900+ 1200 = 2100 = (10 21)2 √ --- √ --- √ --- BD = 30−--10--21-< 0 lub BD = 3-0+--10--21 = 15-+-5--21-. 8 8 4

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy √ -- BD = 15+5--21 4 .  
Odpowiedź: 15 27 √ -- 15+5√ 21 AB = 2-, BC = 2-− 5 3, BD = ---4----

Wersja PDF