Zadanie nr 7754595
Dany jest czworokąt wypukły , w którym: , , , . Wykaż, że trójkąt jest równoboczny.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Sposób I
Dorysujmy przekątną i oznaczmy .
Pomysł jest następujący: spróbujemy pokazać, że , co będzie oznaczało, że trójkąt jest równoboczny. Odcinek obliczymy stosując twierdzenie sinusów w trójkącie , ale zanim to zrobimy musimy obliczyć długość przekątnej .
Stosując twierdzenie cosinusów w trójkącie obliczamy długość odcinka .
Teraz będziemy chcieli zastosować twierdzenie sinusów w trójkącie , ale zanim to zrobimy zauważmy, że
Stosujemy teraz twierdzenie sinusów w trójkącie .
Zatem rzeczywiście , co oznacza, że trójkąt jest równoramienny z jednym z kątów równym , czyli jest równoboczny.
Sposób II
Dorysujmy okrąg o środku i promieniu oraz niech będzie dowolnym punktem tego okręgu leżącym po przeciwnej stronie prostej niż . Mamy zatem
To oznacza, że punkt również leży na tym okręgu. W szczególności
czyli trójkąt jest równoramienny z jednym z kątów równym . Jest więc równoboczny.